Conseguenze del teorema di Lagrange

Conseguenze del teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Lagrange afferma che se

Il teorema di f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a; b] e derivabile in

ogni punto dell'intervallo aperto ]a; b[

allora ( )−f (

f b a)

esiste almeno un punto interno all’intervallo aperto ]a; b[ la cui derivata vale .

b−a

Ipotesi:

• f(x) è continua in [a; b];
• f(x) è derivabile in ]a; b[;

Tesi: ( )−f (a)

f b

'

( ) ( )=

∃C ∈ a; b : f c

− b−a

Il teorema di Lagrange è la generalizzazione del Teorema di Rolle.

Dal punto di vista geometrico, la funzione che soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange ammette almeno un punto c

in cui la retta tangente la curva è parallela alla corda della funzione f(x).

Dal teorema di Lagrange, derivano altri teoremi che enuncio e dimostro di seguito.

Teorema 1

Sia f(x) una funzione che soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange.

'

Se f'(x) > 0 in ogni punto dell’intervallo aperto ]a; b[, allora la funzione è strettamente crescente in [a; b].

'

Se f'(x) < 0 in ogni punto dell’intervallo aperto ]a; b[, allora la funzione è strettamente decrescente in [a; b].

∈

Sia x, x ∈ [a; b] e si supponi che x > x, e quindi x − x > 0.

1 2 2 1 2 1

Si applichi il teorema di Lagrange alla funzione f(x) nell’intervallo ]x; x[.

1 2

⊂

Le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate poiché ]x; x[ ⊂ [a; b].

1 2 ( ) −f ( )

f x x

2 1

Quindi, nell’intervallo ]x; x[ esiste almeno un punto c la cui derivata vale

1 2 −x

x 2 1

x

x

( ) −f (x )

f x ( ¿¿

f 1)

2 1

' ( )=

f c; .

poiché x − x > 0, allora

2 1

−x

x (¿¿

f 2)−¿

2 1 '

( )

( ) −x =¿

f c x 2 1

x

x

' ( ) e (¿¿

f 1)

L’ultima uguaglianza è verificata se sono concordi, visto che x − x > 0.

f c 2 1

(¿¿

f 2)−¿

¿