Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Se f(a)=f(b), esiste un punto x₀ ∈ (a,b) per cui f'(x₀) = 0.

Dimostrazione

Indichiamo con x₁ e x₂ due punti, rispettivamente di minimo e di massimo assoluto per f nell'intervallo [a,b]: cioè f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂).

Tali punti di massimo e di minimo esistono per f esterno in base al teorema di Weierstrass.

Se almeno uno dei due punti è interno all'intervallo [a,b], in corrispondenza la derivata si annulla (per il teorema di Fermat).

Prima di esaminare il caso in cui i punti x₁, x₂ non sono interni, diciamo x₁=a e x₂=b: le disuguaglianze f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) diventano f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) per ogni x nell'intervallo [a,b].

Dato che per ipotesi f(a) = f(b), risulta f(x) = f(a) per ogni x ∈ [a,b], quindi f è costante e la sua derivata è ovunque 0.

Geometricamente il teorema di Rolle afferma che per una funzione f(x) continua in [a,b], derivabile in (a,b), con f(a)=f(b) esiste in (a,b) un punto x₀ in cui la retta tangente è orizzontale.

Per il teorema di Lagrange si considera una situazione più generale, in cui non necessariamente f(a)=f(b). Il teorema di Lagrange geometricamente afferma che per una funzione f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b), esiste un punto x₀ ∈ (a,b) in cui la retta tangente è uguale alla corda congiungente gli estremi del.

Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se f(a) = f(b), esiste un punto x₀ ∈ (a, b) per cui f'(x₀) = 0.

Dimostrazione

Indichiamo con x₁ e x₂ due punti, rispettivamente di minimo e di massimo assoluto per f nell'intervallo [a, b]: cioè f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂).

Tali punti di massimo e di minimo esistono per f esterna in base al teorema di Weierstrass.

Se almeno uno dei due punti è interno all'intervallo [a, b], in corrispondenza la derivata si annulla (per il teorema di Fermat).

Prima di esaminare il caso in cui i punti x₁, x₂ non sono interni, diciamo x₁ = a e x₂ = b: le disuguaglianze f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) diventano f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) per ogni x nell'intervallo [a, b].

Dato che per ipotesi f(a) = f(b), risulta f(x) = f(a) per ogni x ∈ [a, b], quindi f è costante e la sua derivata è ovunque 0.

Geometricamente il teorema di Rolle afferma che per una funzione f(x) continua in [a, b], derivabile in (a, b), con f(a) = f(b) esiste in (a, b) un punto x₀ in cui la retta tangente è orizzontale.

Teorema di Lagrange

Per il teorema di Lagrange si considera una situazione più generale, in cui non necessariamente f(a) = f(b). Il teorema di Lagrange geometricamente afferma che per una funzione f(x) continua in [a, b] e derivabile in (a, b), esiste un punto x₀ ∈ (a, b) in cui la retta tangente è parallela alla corda congiungente gli estremi del.

Si tenga presente che il coefficiente angolare della retta tangente in x_o è f'(x_o), mentre il coefficiente angolare della corda è ^f(b)-f(a)/_b-a.

Teorema di Lagrange

Sia f(x) una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Esiste un punto x_o ∈ (a, b) per cui f'(x_o) = ^f(b)-f(a)/_b-a.

Hp:

• F continua in [a, b]
• F derivabile in ]a, b[

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema ci si riconduce al teorema di Rolle che ha le stesse ipotesi più il fatto che f(a)=f(b).

Quindi costruiamo una funzione ausiliaria g(x) tale che g(a)=g(b).

Osservando il grafico possiamo vedere che le funzioni f(x) nei punti a e b assumono gli stessi valori che assume la retta m nei punti a e b.

Quindi, tenendo conto che sia la retta e sia la funzione f(x) sono entrambe continue e derivabili, introduciamo allora una funzione che chiamiamo g(x) che è la differenza fra f(x) e la retta m, in modo tale che g(a)=g(b) (in questo caso g(a)=g(b)=0).

La retta m possiamo scriverla come y=mx+q (dobbiamo quindi ricavare m e q imponendo il passaggio per p₁ e p₂).

y=mx+q
f(a)=ma+q
f(b)=mb+q
q-f(a)-ma
f(b)=mb+f(a)-ma
q = f(e) - me
f(b) - f(e) = m(b - e)
a = f(e) - me
m = f(b) - f(e)
mc = f(b) - f(e)

L'equazione della retta q = (f(b) - f(e)) / (b - e) (x - e) + [f(e) - (f(b) - f(e)) / (b - e) a].

q = f(e) + (f(b) - f(e)) / (b - e) (x - e).

Allora g(x) = f(x) - [(f(e) + (f(b) - f(e)) / (b - e) (x - e))].

Possiamo verificare che g(e) - g(b) = 0.

g(e) = f(e) - [f(e) + (f(b) - f(e)) / (b - e) (e - e)] = 0.

g(b) = f(b) - [f(b) + (f(b) - f(e)) / (b - e) (b - e)] = 0.

g(e) = g(b) = 0.

La funzione ottenuta g(x) è quindi continua e derivabile, per la proprietà che somma o differenza di funzioni continue è ancora una funzione continua e somma o differenza di funzioni derivabili è ancora una funzione derivabile.

La funzione: g(x) = f(x) - [(f(e) + f(b) - f(e)) / (b - e) (x - e)].

È derivabile e la sua derivata vale g'(x) = f'(x) - (f(b) - f(e)) / (b - e).

Per il teorema di Rolle esiste un punto x₀ ∈ ] e, b [ per cui g'(x₀) = 0.