1989 Sessione ordinaria
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4) Delle funzioni f(x) = 2x3 − 3x2 e g(x) = x2/3 − 1 una non verifica nell'intervallo [−1; 2] tutte le ipotesi del teorema di Lagrange (o del valore medio). Si dica per quale delle due ciò avviene e si giustifichi l'affermazione. Si determinino per l'altra funzione i valori della variabile indipendente la cui esistenza è assicurata dal teorema stesso.
Soluzione di De Rosa Nicola
In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a; b].
In simboli: data f: [a, b] → R, continua in [a, b] e derivabile in (a, b), allora
∃ c ∈ (a, b): f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a).
La curva di equazione f(x) = 2x3 − 3x2 è un polinomio di terzo grado, quindi continua e derivabile in tutto R, per cui essa soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [−1; 2].
Vediamo se l'altra curva di equazione g(x) = x2/3 − 1 soddisfa le suddette ipotesi.
Essa è certamente continua, quindi l'ipotesi di continuità è soddisfatta, per cui presumiamo ci sia un errore nella traccia quando si afferma “una non verifica nell'intervallo [−1; 2] tutte le ipotesi del teorema di Lagrange”; vediamo se è derivabile:
g'(x) = (x2/3 − 1)' = 2/3 x−1/3 = 2/(3x1/3).
Come si nota dalla derivata la funzione g(x) non è derivabile in x = 0, infatti:
limx → 0+ g'(x) = +∞
limx → 0− g'(x) = −∞
Per cui la funzione presenta in x = 0 un punto di non derivabilità ed in particolare una cuspide.
Quindi essa non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.
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