Compito in classe V liceo scientifico maggio 2010

Compito in classe V liceo scientifico 30/04/10

( )

√

( ) = ∈

1)

Studiare al variare di la funzione con .

( )

ℎ = ( + 1) ℎ( ).

2)

Assegnata la funzione trovare l’insieme delle primitive di Tra tutte le

(1; 2).

primitive trovare quella che passa per

∫ ∈

3)

Calcolare per il più piccolo valore di per cui l’integrale converge.

4)

(√ ) =

Dimostrare che il volume della sfera è utilizzando il calcolo integrale.

5)

Detta l’area del poligono regolare di lati inscritto nella circonferenza , dimostrare che

= sin lim

e calcolare .

Soluzioni

1) Studio della funzione

Studiamo la funzione :

=

-Dominio : ( )

√

( )

− = → ∄

-Simmetrie : simmetrie

( ) > 0 ∀ ∈

-Segno :

-Intersezioni con gli assi : ( )=0

(0) = =1

∩ = ∩ = ( )

=0 √ =0 ∄ ∈

(0; 1)

-Comportamento agli estremi del dominio : ( )

√

lim

→

− 1 <0 → <1 lim ( )=0

Per →

− 1 =0 → =1 lim ( )=0

Per → ( ))

( ( ))

(

− 1 >0 → >1 lim ( ) = lim = = = ∞

Per → →

-Monotonia : 1 1 − 3( − 1)√

( ) ( )

√ √

( )= − ( − 1) =

3√ 3√

Svolto da pasquale pinto

√ √

( ) ( )

( )

√

( )>0 3( 1)

>0 → > 0 → 1 − − >0

√

√ √

3( 1)

1 − − >0

( )>0

≤ 1 ∀ ∈

Per >1 < → − < <

Per ( ) ( ) ( )

Grafico

ℎ( )

2) Insieme delle primitive

Per trovare l’insieme delle primitive di basta risolvere l’integrale indefinito .

( + 1)

∫

( ) ( )=

= log ( + 1)

Prendendo e e integrando per parti.

log( 1) log( 1)

( + 1) = + − = + −

∫ ∫

log( 1) log( 1)

= + − − = + − +

∫ ∫

Svolto da pasquale pinto

log( 1) log( 1)

+ = + − − = + − +

∫ ∫

log( 1)

+ +

Per trovare la primitiva che passa per sostituiamo :

(1) = log2 − + c

log2 − + c = log2 → c = 2 2 1 1

2 2

log +1 − + log +1 +

( ) =

Quindi la primitiva cercata è 2 2 2 2

~

→ +∞

3) Convergenza dell’integrale

Per risulta quindi l’integrale converge se n − 1 > 1 , cioè se n > 2.

√ ∈ = 3.

Quindi il più piccolo valore di per cui l’integrale converge è

= = − +

∫ ∫ √

√ √

= lim = lim − = lim − +

∫ ∫