Compito in classe IV liceo scientifico PNI

L. Lecci, aprile 2004, 1

Geometria, trigonometria, traslazioni nel piano cartesiano – utilizzo di Derive

Problema

Nella semicirconferenza di diametro AB = 2r si inscriva il triangolo rettangolo isoscele ABC e si prenda sull’arco AC un punto P. Indicata con x l’ampiezza dell’angolo PAC, risolvere i seguenti quesiti:

Competenze richieste

• Teoremi sul triangolo rettangolo.
• Teorema della corda.
• Formule di addizione.
• Risoluzione di equazioni lineari in sen x e cos x.
• Applicazione di una traslazione nel piano cartesiano ad una curva.

a) determinare x in modo che risulti

AP + PB + PC = 6 + 1 r;

b) tracciare il grafico della funzione nel piano cartesiano ad una curva.

f(x) = AP + PB + PC;

c) stabilire per quale valore di x la funzione assume il valore massimo;

d) tracciare il grafico della funzione g(x) ottenuta dalla f(x) applicando la traslazione di vettore

v = 3r, essendo α = arctg 2.

Soluzione

Facciamo riferimento alla figura Fig. 1

a) Il triangolo ABC è rettangolo nel vertice C perché inscritto in una semicirconferenza ed è isoscele, quindi l’angolo BAC ha ampiezza 45°; l’angolo PAB misura 45° + x.

Per quanto concerne i valori di x osserviamo che risulta 0° ≤ x ≤ 45° perché il punto P deve muoversi sull’arco AC e sono consentite le posizioni estreme. Infatti,

• Se P = A si annulla la misura della corda AP, PC coincide con AC e PB coincide con il diametro AB;
• Se P = C allora AP coincide con AC, PC si riduce ad un punto e PB coincide con BC.

La somma delle misure dei tre segmenti ha senso qualunque sia la posizione di P sull’arco AC.

Le misure delle corde AP, PC, PB si ottengono velocemente applicando il teorema della corda o i teoremi relativi ad un triangolo rettangolo. (1)

Dal triangolo rettangolo APB si ha:

AP = AB cos(x + 45°) = 2 · r cos(x + 45°);

PB = AB sen(x + 45°) = 2 · r sen(x + 45°).

Determiniamo la misura della corda PC applicando il teorema della corda:

PC = 2 · r sen x.

A questo punto possiamo scrivere la relazione richiesta nel quesito

AP + PB + PC = 6 + 1 r in funzione della variabile x.

2 · r cos(x + 45°) + 2 · r sen(x + 45°) + 2 · r sen x = 6 + 1 r (a.1)

Semplificando il fattore r ed applicando le formule di addizione per il seno ed il coseno si ottiene

2 [(cos x cos 45° − sen x sen 45°) + (sen x cos 45° + cos x sen 45°) + sen x] = 6 + 1 ⇔

2 cos x + 2 sen x = 6 + 1 (a.2)