Compito in classe III liceo scientifico PNI

L. Lecci\Compito 3D\Mercoledì 27 ottobre 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase. Tempo di lavoro: 120 minuti.

Oggetto: compito in classe 3D/PNI.

Argomenti

Geometria analitica: luoghi geometrici nel piano cartesiano. Applicazione delle simmetrie centrali e assiali. Applicazione delle traslazioni: curve traslate ed equazioni di una stessa curva in due riferimenti traslati. Algebra: disequazioni irrazionali con e senza parametro.

Soluzione

Geometria analitica

Es_1

In un riferimento cartesiano monometrico xOy si consideri il punto P:

P = (a; (3 − a) / (2a − 1)), con a parametro reale. P appartiene al primo quadrante.

1.1 Stabilire per quali valori del parametro a il punto P appartiene al primo quadrante.

1.2 Determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P al variare del parametro a, esplicitando l’equazione ottenuta nella forma y = f(x).

1.3 Determinare le coordinate del punto P′ simmetrico di P rispetto alla retta s: y = 7/2 e le coordinate del punto P′′ simmetrico di P rispetto alla retta s₁: x = 1/2. Classificare il triangolo PP′P′′ e determinare la sua area.

Es_2

2.1 Indicare i punti che costituiscono il luogo geometrico nel piano cartesiano definito dalla seguente equazione:

(x − 1)² + (y + 2)² = 4.

2.2 Determinare la regione del piano cartesiano alla quale appartengono i punti del luogo geometrico definito dalla seguente equazione: x − 1 − y = 0.

Es_3

Si considerino in un piano cartesiano dotato di riferimento ortogonale monometrico i punti A(0; −1), B(3; 1) ed il punto P(1; a² − a).

3.1 Stabilire per quali valori del parametro a il punto P è equidistante da A e da B. Determinare le coordinate dei punti P che verificano la suddetta condizione.

3.2 Riconosciuto che il punto P può solo coincidere con il punto di coordinate (1; 3/4), determinare le coordinate del punto P′ in modo che il quadrilatero APBP′ sia un rombo.

3.3 Determinare il raggio della circonferenza inscritta al rombo APBP′.

Rappresentare nello stesso riferimento cartesiano la figura completa.

Es_4

4.1 Nel riferimento cartesiano xOy sono date le curve γ₁, γ₂, di equazioni:

γ₁: y = −(x − 2)² + 1; γ₂: x² + (y − 1)² = 9/4.

ed il vettore V = −1/2 i − 9/4 j.

Determinare le equazioni delle curve γ′₁, γ′₂, ottenute traslando nel riferimento cartesiano le due curve γ₁, γ₂, del vettore V.

4.2 Determinare i punti A′, B′ d’intersezione delle curve γ′₁, γ′₂. Trovare le antimmagini di A′, B′ nella traslazione determinata da V.

Es_5

Risolvere le seguenti disequazioni:

5.1 (x − 1) / (x² − 4) ≥ 0.

5.2 (x − a) / (x − 1) < 0, con a ∈ R.

Autore Luigi Lecci\Liceo Scientifico “G. Stampacchia” - Tricase (LE) – 0833-544020

L. Lecci\Compito 3D\Mercoledì 27 ottobre 2004 2

Soluzione

Geometria analitica

Es_1

1.1 Affinché il punto P appartenga al primo quadrante, compresi i semiassi che delimitano quest’ultimo, le coordinate del punto devono essere non negative, quindi il parametro a deve essere soluzione del seguente sistema:

a ≥ 0

(3 − a) / (2a − 1) ≥ 0

L’insieme delle soluzioni è: S = [0; 1/2) ∪ [3; +∞[.

1.2 Per determinare l’equazione cartesiana del luogo descritto dal punto P è necessario impostare il seguente sistema:

x = a

y = (3 − a) / (2a − 1)

ed eliminare il parametro a. Si perviene alla seguente equazione cartesiana:

γ: y = (3 − x) / (2x − 1).

In Fig. 1 è rappresentata la curva descritta dal punto P. Si tratta di un’iperbole equilatera avente come asintoti le rette di equazioni:

s₁: 2x − 1 = 0, per asintoto verticale;

s₂: y = −1/2, per asintoto orizzontale.

1.3 Le coordinate del punto P′ si ottengono applicando le equazioni della simmetria assiale avente per asse la retta s, che sono:

x′ = x

y′ = 7 − y

ne segue che il punto immagine è P′ = (a; 4 − (3 − a)/(2a − 1)).

Analogamente, per avere le coordinate del simmetrico di P rispetto alla retta s₁: x = 1/2 si devono applicare le equazioni della simmetria assiale avente tale retta come asse. Le equazioni sono:

x′ = 1 − x

y′ = y

e quindi il punto simmetrico è P′′ = (1 − a; (3 − a)/(2a − 1)).

Classificazione del triangolo PP′P′′

Si tratta di un triangolo rettangolo con l’angolo retto nel vertice P; la sua area è data dal semiprodotto delle misure dei due cateti: PP′, PP′′.

PP′ = y′ − y = 4 − (3 − a)/(2a − 1) − (3 − a)/(2a − 1) = 4 − 2(3 − a)/(2a − 1);

PP′′ = x − x′′ = a − (1 − a) = 2a − 1.

Misura dell’area:

Area (PP′P′′) = 1/2 · PP′ · PP′′ = 1/2 · (2a − 1) · (4 − 2(3 − a)/(2a − 1)) ≠ 0, naturalmente con a ∈ S.

Autore Luigi Lecci\Liceo Scientifico “G. Stampacchia” - Tricase (LE) – 0833-544020

L. Lecci\Compito 3D\Mercoledì 27 ottobre 2004 3