Compito in classe II liceo scientifico PNI

Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre 2003 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase Tempo di lavoro

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI 60 minuti

Argomenti: Equazioni e disequazioni immediate contenenti moduli-

Equazioni e disequazioni razionali parametriche intere e/o fratte contenenti moduli . Soluzione

Es_1

(m) Risolvere con procedimento immediato le Collegamenti alla Soluzione

seguenti equazioni e disequazioni giustificando le risposte. Es_1 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

|2x - 3| + |x - 1| > 0

1.1 Es_2 Segno_Argomenti_Moduli

|x² - 2x| + |x - 2| = 0

1.2 Studio nell’intervallo ]-∞; -1/2[

Studio nell’intervallo [-1/2; 1[

|x + 3| + 2·|x - 1| ≤ 0

1.3 Studio nell’intervallo [1; +∞[

x > 0 Es_3 Segno Numeratore

1.4 − +

x 1 3 Segno Denominatore

Es_4 4.1 Disequazione parametrica intera - Discussione

Soluzioni

Es_2

(m) Risolvere la seguente equazione razionale 4.2 Disequazione parametrica fratta

|2x + 1| - 2·|x - 1| - 1 = 0

Discussione Segno Frazione

Es.3

(m) Risolvere la seguente disequazione razionale fratta

+ −

x 2 3 ≤ 0

−

2

x 4 x

Es_4

(m) Risolvere le seguenti disequazioni parametriche

|3 - x| - 2x + a - 1 > 0 ∀a∈ℝ

4.1 − +

x a 3 < ∀a∈ℝ

0

4.2 −

3 2 x

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Luigi Lecci\Compito 2D\Lunedì 10 Novembre 2003 2

Soluzione

Es_1) |2x - 3| + |x - 1| > 0

1.1

Osserviamo innanzitutto che l’espressione algebrica che figura al primo membro ha senso per ogni

x reale. Ciò premesso, ricordiamo che il valore assoluto di un numero reale diverso da zero è

positivo, pertanto la somma di due valori assoluti è positiva se almeno uno dei due argomenti che

figurano in valore assoluto è diverso da zero. Notiamo che 2x - 3 = 0 solo per x = 3/2 e x - 1 = 0 solo per

∀x∈ℝ

x = 1. Concludiamo che per almeno uno dei due valori assoluti è positivo. La disequazione è

soddisfatta perciò da ogni valore reale: S = ℝ

|x² - 2x| + |x - 2| = 0

1.2 La somma di due valori assoluti è nulla se e solo se entrambi sono nulli, pertanto un valore

reale x è soluzione dell’equazione solo se annulla contemporaneamente ciascuno dei due

argomenti x² - 2x, x - 2. Considerato che x - 2 = 0 solo con x = 2 e che tale valore annulla anche

x² - 2x, concludiamo che l’insieme delle soluzioni dell’equazione è S = {2}.

|x + 3| + 2·|x - 1| ≤ 0

1.3 La disequazione non è soddisfatta da alcun valore reale della variabile x; infatti, per

qualunque valore reale almeno uno dei due argomenti in valore assoluto è diverso da zero e

dunque è positiva la somma del valore assoluto del primo con il doppio del valore assoluto

del secondo. L’insieme delle soluzioni è perciò vuoto: S = φ

x > ∀

0

1.4 Il denominatore della frazione è strettamente positivo x∈ℝ, anzi

− +

x 1 3

possiamo affermare che assume valori maggiori o uguali a tre; il numeratore è non negativo e se

escludiamo il valore x = 0 che lo rende nullo, per tutti gli altri valori reali è positivo. La frazione

ℝ - {0} = ℝ

assume dunque valori positivi per ogni x reale diverso da 0: S = .