Compito, classe I, liceo scientifico PNI: equazione frazionaria, equazione letterale, geometria

L. Lecci\Compito 1D-PNI\ 21 Aprile 2004 4

Geometria

Facciamo riferimento alla figura Fig. 2.

Nella stessa, rispetto alla figura riportata nel testo del problema, abbiamo tracciato anche la diagonale BD, oltre ad aver evidenziato il parallelogrammo PBQD.

1) Confrontando i due triangoli MPB, MQD possiamo dimostrare che sono congruenti per il secondo criterio.

Infatti:

• I lati MB, MD sono congruenti perché in un parallelogrammo le diagonali si tagliano scambievolmente a metà;
• Gli angoli PMB, QMD sono opposti al vertice, quindi congruenti;
• Gli angoli PBM, QDM formano una coppia di angoli alterni interni rispetto alle rette parallele AB, DC tagliate dalla trasversale BD, quindi sono congruenti.

I due triangoli hanno quindi ordinatamente congruenti due angoli e il lato compreso e quindi, come elementi corrispondenti, sono congruenti i segmenti PB, DQ.

Poiché questi sono anche paralleli tra loro, possiamo concludere che il quadrilatero PBQD è un parallelogrammo per avere due lati opposti congruenti e paralleli.

2) Dalla precedente dimostrazione, ricordando che in un parallelogrammo i lati opposti sono congruenti, deduciamo:

• ⇒ AB − AP ≅ CD − DQ ⇔ AP ≅ CQ;

AB ≅ CD, PB ≅ QD

• AD ≅ BC perché lati opposti nel parallelogrammo ABCD;
• Gli angoli DAC, BCQ sono congruenti perché angoli opposti nel parallelogrammo ABCD.

Pertanto i due triangoli APD, CQB sono congruenti per il primo criterio.

4) Tracciamo le bisettrici DS, BR, rispettivamente degli angoli ADP, CBQ.

Avendo dimostrato la congruenza dei triangoli APD, CBQ, segue che sono congruenti i due angoli ADP, CBQ perché elementi corrispondenti e quindi sono anche congruenti le rispettive metà:

SDP ≅ RBQ; inoltre, considerato che il quadrilatero PBQD è un parallelogrammo, sono anche congruenti gli angoli QBD e PDB, in quanto coppia di angoli alterni interni formati dalle parallele DP, BQ tagliate dalla trasversale BD.

Sommando ordinatamente gli angoli congruenti otteniamo:

RBD = SDB + SDP + PDB ≅ RBQ + QBD = RBD

e poiché i due angoli SDB, RBD formano una coppia di angoli alterni interni rispetto alla retta delle bisettrici DS, BR, tagliate dalla trasversale BD, dalla loro congruenza scaturisce che sono parallele le rette delle bisettrici.

Autore Luigi Lecci

L. Lecci\Compito 1D-PNI\ 21 Aprile 2004 3

+ − − − + − − + − + − −

2 2

x (a x 1) (x 2) a 3 x 3 (1 a x 2 x 1) (3 x 5 x ) ⇔

=

− −

x (x 2) x (x 2)