2001. Sessione suppletiva PNI 2001

–

Sessione suppletiva 2000 2001 Liceo sperimentale Soluzione di Nicola De Rosa

QUESTIONARIO

1. Enunciare il teorema del valor medio o di Lagrange illustrandone il legame con il teorema di

Rolle e le implicazioni ai fini della determinazione della crescenza o decrescenza delle curve.

2. Calcolare la derivata della funzione 

  x 1

 

f x arctan x arctan 

x 1

Quali conclusioni se ne possono trarre per la f(x)?

   

  x

3. Dire qual è il dominio della funzione e stabilire il segno della derivata prima

f x x





e quello della derivata seconda di f(x) nel punto .

x

4. Calcolare, integrando per parti: 1

 arcsin xdx

0

Spiegare, anche con esempi appropriati, il significato in matematica di “concetto primitivo”

5. e

“assioma”

di .

Nell’insieme delle cifre 1,2,3,………..,9

6. se ne scelgono due a caso. La loro somma è pari:

determinare la probabilità che entrambe le cifre siano dispari.

  

Verificato che l’equazione 3

7. ammette una sola radice reale compresa tra 2 e 3,

x 2 x 5 0

se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

8. Calcolare il rapporto tra la superficie totale di un cilindro equilatero e la superficie della sfera

ad esso circoscritta.

9. Dire (motivando la risposta) se è possibile inscrivere in una semicirconferenza un triangolo

che non sia rettangolo. Ovvero, con i versi di Dante:

..… se del mezzo cerchio far si puote

triangol sì ch’ un retto non avesse. (Paradiso, XIII, 101-102) 2

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PROBLEMA1

Punto a

Una successione numerica si dice progressione aritmetica di ragione k quando la differenza fra ogni

termine e il suo precedente è costante e vale k. Nel caso in esame, fissato il lato di misura a, gli altri

 



b a k



due lati del triangolo misurano .

   



c b k a 2 k

Il raggio della circonferenza inscritta è pari al rapporto tra l’area ed il semiperimetro del triangolo:

       

   

  a b c a a k a 2 k 3

S k    

 , mentre l’area

. Il semiperimetro vale p k a k

r k   2 2 2

p k

per la formula di Erone vale

     

         

       

S k p k p k a p k b p k c

     

           

3 3 3 3

             

a k a k a a k a k a k a 2 k

     

     

2 2 2 2

    2

       

     

3 a 3

k a k a k a k

           

       

a k 3 a 3

k a k

       

2 2 2 2 4

  

 

a k

     

  2 2

3 3

k 2 ak a

 

4

Il raggio della circonferenza inscritta vale allora

  

 

a k     

  2 2

3 3

k 2 ak a

   

 

  S k 1

4

      

2 2

r k 3 3

k 2 ak a

   

3

p k 6



a k

2

Punto b    

2

r k

Il valore di k che massimizza è lo stesso che massimizza , per cui bisogna trovare il

r k

 

     

2 2

massimo della funzione . Questa funzione è una parabola con concavità

f k 3

k 2

ak a 1



massimo nell’ascissa del vertice

verso il basso che raggiunge il suo ; analogamente

k a

3

 

r k

proseguendo mediante derivazione scopriamo che la funzione è strettamente crescente in

   

1 1

  

   

e strettamente decrescente in da cui deduciamo la presenza di un massimo

, a a ,

   

3 3  

1 1 1 1

  

 

k a k a

relativo per . In corrispondenza di il valore massimo assunto è .

r a a

 

3 3 3 3

4 5

 

a , b a , c a

Notiamo che in tal caso i lati dei tre triangoli misurano cioè il triangolo è

3 3 3

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rettangolo.

Punto c

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano Oxy con

 cioè con origine coincidente con il vertice del

O C

triangolo rettangolo e con gli altri due vertici A e B

sull’asse delle ordinate e delle ascisse.

rispettivamente Di

seguito la geometria del problema.

In questo sistema di riferimento i vertici del triangolo

     

4

 

hanno coordinate A 0

, a , B a ,

0 , C 0

,

0

 

3 1



La circonferenza inscritta ha raggio e centro

r a

3

 

1 1

  per cui ha equazione

D a , a

 

3 3 2 2 2

     

1 1 1 2 2 1

         

      2 2 2 .

x a y a a a y ax ay a 0

     

3 3 3 3 3 9

Per determinare l’equazione della circonferenza circoscritta, basta notare che, essendo il triangolo

ABC rettangolo e quindi inscrivibile in una semicirconferenza, il suo centro coincide col punto

 

   

x x y y 1 2



   

A B A B

E , E a , a

medio del segmento AB, per cui ; il raggio, invece, è pari ad

 

 

2 2 2 3

AB 5

  per cui l’equazione della circonferenza circoscritta è

R a

2 6

2 2 2

     

1 2 5 4

        

      2 2 .

x a y a a a y ax ay 0

     

2 3 6 3

Punto d

Il rapporto tra i volumi delle sfere è pari al cubo del rapporto tra i raggi, e cioè

3

 

 

1

 

 

a 3

 

 

V 2 8

3

 

  

  .

 

   

5

V ' 5 125

 

a

 

 

6 4

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PROBLEMA2

Punto a

Consideriamo la figura a lato.

Il cilindro di altezza h e raggio di base r ha capacità, e quindi volume,

V

 

 . L’area totale del cilindro è

2 costante, da cui ricaviamo

V r h h  2

r

pari alla somma delle due aree di base e dell’area laterale, cioè

V



h 

 



3

 2

  2

V r V

r

    

      

2 2

S r 2 S S 2 r 2 rh 2 r 2 .

 

T Base Laterale  

r r



 



3

  r V

 

 

S r 2

Cerchiamo il minimo della funzione posto . La

r 0

 

T  

r



 



3

   

2 r V

 



'

S r 2

derivata prima vale per cui è strettamente

S r

 

T T

2

 

r  

  V

V  

  

decrescente in e strettamente crescente in da cui deduciamo che la superficie

,

0

, 3 3

 

  

 2

2  

 

V V 4

V

   

. In tal caso l’altezza corrispondente misura

r

è minima per ,

h 2 r

3 3

 

2

 

2 V

 

 3

 



2

 

cioè il cilindro di area minima è tale per cui l’altezza coincide col diametro di base; pertanto trattasi

di cilindro equilatero.

Punto b    

800

  

  3 h 2 r cm 6

,

3 cm

V 2 decilitri 200 cm

Posto , si ha 3 

Punto c  



5 1

 



è la sezione aurea dell’altezza si ha

Se il diametro di base ; ricordando che

d h

 

2

 

 

 

  

V 4

V 5 1 4

V 2

V

   

     

  3

3 V 2 decilitri 200 cm

h d d 5 1

, si ha . Posto , si

  

  

 

2

2 2 2

 

r d d

     

400 400

     

3

d 5 1 d 5 1 5

, 4 cm

ha cui corrisponde

3

 

 

   

   

5 1 5 1 400

   

   

h d 5 1 8

,

7 cm .

3

    

2 2

    5

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è

continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in

cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico

dell'intervallo [a;b]. Questa è l’interpretazione geometrica del teorema di

corrispondenti agli estremi

Lagrange.

In modo formale:

  

1. Sia f : a

, b R

2. continua in [a, b]

3. derivabile in (a, b) 

    f (

b ) f ( a )

  

'

allora in queste ipotesi .

c a , b : f c 

b a

     

 

Se la funzione è tale per cui , il teorema di Lagrange si riduce a quello di

f : a

, b R f a f b 

    f (

b ) f ( a )

   

'

Rolle: infatti nelle ipotesi di cui sopra .

c a , b : f c 0



b a

Il teorema di Lagrange permette di dimostrare un importante teorema sulla crescenza e decrescenza



delle funzioni. Detta continua in I e derivabile internamente ad I, essa è:

f : I R

1. crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è positiva;

2. decrescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è negativa.

 

 

x x con x ,x I x , x

Posto , applicando il teorema di Lagrange in si ha:

1 2 1 2 1 2



f ( x ) f ( x )

     

   



' '

2 1

c x , x : f c x x

f c 0

. Supponiamo ; essendo , la condizione



1 2 1 2

x x

2 1



f ( x ) f ( x )    

     

' 2 1

f c 0 f x f x x ,x I

equivale a . Poiché e sono generici si deduce la

 2 1 1 2

x x

2 1   

'

f c 0

crescenza della funzione in tutto I. Analogamente si dimostra la decrescenza supponendo .

Quesito 2   

  x 1  

  R 1

f x arctan x arctan

La funzione è definita in . La sua derivata prima è:



x 1 6

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   

    

1 x 1 1 x 1 2

   

 

2 2

  1 1

x 1 x 1

    

f ' x    

    



2 2 2 2 2

 

1 x 1 x x 1 x 1

x 1

  

1  

  2

 

x 1 x 1

2

 

 2

1 1 1

x 1

    

  0

   

2 2 2 2

1 x 2 1 x 1 x 1 x

 

 2

x 1  

 

La derivata quindi risulta nulla in ; da ciò deduciamo che la funzione è costante a tratti in

R 1

   

     

ognuno degli intervalli . Per trovare le costanti basta valutare la funzione in due

, 1 e 1

,    

     

punti che cadono rispettivamente negli intervalli .

, 1 e 1

,

   

  

Per l’intervallo x 3

possiamo valutare la funzione in ottenendo

, 1

       

    

 

3 1 5 3

 

             ; per

f 3 arctan 3 arctan arctan 3 arctan 2 3

 

  3 12 4

 

3 1

 

   

l’intervallo possiamo valutare la funzione in ottenendo

1

, x 1





 

         

1 1

     

  . In conclusione

f 1 arctan 1 arctan arctan 1 arctan 0 arctan 1



 

1 1 4



 3

  

se x 1





  4

 

f x .



  

se x 1



 4

Quesito 3         

  

f x f x f x

La funzione in esame può essere così scritta: in cui il dominio di è

f x x

1

1 2

  

  x

f x

R , mentre il dominio di è tutto ; quindi anche la funzione differenza ha come

R

2

  

  l’esponente

0

,

dominio e cioè . Tuttavia, essendo positivo, la funzione è prolungabile

R    

 f 0 1

per continuità in in cui vale .

x 0

Le derivate sono:

  

  



   

1 x

f ' x x ln

    

   



     

2 2 x

f ' ' x 1 x ln





x

e valutate per forniscono

   

  

      



      

1

f ' ln 1 ln  

       

        

 

       

2 2 2 1

f ' ' 1 ln 1 ln 7

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