Chimica Fisica 2 Teoria

0210312022 l' quantisticameccanicadellaalba

L' quantisticameccanicadellaalba fallisconole fisicamolecole visteatomimateria leggicomposta da della classica admeccanicaprima oggiee: .dell'Ad èèatomo carichistruttura moto acceleratola ④nuclei motoseparatie- caricaunae-esempio per ininunsee: ,Quindi cheproduce dovrebbeche collassare andavaqualcosac'energia nonerae .trattamento della Quantomeccanica→fondamentoIl fondamentali fenomeno fisicoesistepostulati questidei che spiegato dapossanon esseresono nonunma, )(postulati formalesufficienti approccionecessari esono, (l' fisicala)di questaparticelleimpossibilità harappresentare onda naturadoppialuce classicamesso crisiine , ,Per Lspegrimentodellttdoppittrendturnttdèslnootquanto riguarda gage- → )diversi ( luce pallinesorgenteoggetti macroscopiche3 -econ : ,, fendituraluminosa la sorgentesorella questa diventa secondariamandose contro unacon una ,fenditura strisciadietro alla schermo mummiahoil nello → /fenditura Hodelle dellediffrazioneinterferenzabandemetto dischermo hoseconda sullose zonenella → .faselucedi delladi ondulatoria puntolucelaombra due ondenatura raggiungonoinper nellae conun:interferenzadifferenza ( costruttivaottico onde )vedo i dellecammino coincidonodi duelucesi ma ✗sommano , ,e viceversa fenomenoilinterferenza ÈPerottengo ondulatoria un'naturaha si ondaquesto laconcede luceche→ .di fendituravernici schermosporchepalline urtano dellalodacon e immagineping-pong -fenditurefendituraun' due se secondaaltra diho la quellase vedosolo soloaproimmagine→ . fendituracon dall' partefenditura schermohoaltra immaginee- apro e nellouna: -fendituraquestachiudo "secondalaapro 2e →le ondulatoriodi Quindiinterferenzaentrambe comportamentoimmagineapro → .faccio fendituretanto All' doveinizio macchiele due aperteogniche attraversoora singolemandasorgente -leuna →un' interferenza fenditureho di duevederediaspetto quantoleaspettatiCiarriva saremmoimmagine inse invecemae- , .interagiva nullanon cone- fenditureè interferenza lepassandostesso entrambecome avesseci inse secon→ fenditura dase vedodall' delledella l'parte quale ottengoaltra immaginedue vedròmettomi che perpassano -, Vedo dividetuttocheinterferenza interol'le palline interitrovo solo sipassascompare e-e none- . ,,io lo costringo dov'dirmi ècosì a→Quindi 'sicuramente puntiformeè particella però estesa tuttoanche ondae- è loa spaziomeuna con q ne .Questa contraddizione

03/03/2022 Capitolo 0. L’alba della meccanica quantistica

L’inevitabile conclusione, confermata da innumerevoli altri esperimenti, è che l’elettrone è una particella puntifor-me (perché vediamo sempre elettroni interi, localizzati in singoli punti) ed è anche un’onda estesa nello spazio (perchéattraversa simultaneamente le due fenditure e dá luogo a interferenza). Questa coesistenza di opposti inconciliabili èdualismo onda-particella,detta ed è una delle fondamenta sperimentali della Meccanica Quantistica.

Riepilogo storico

Le tappe fondamentali dello sviluppo della Meccanica Quantistica, in un ordine non storico sceltounicamente per motivi didattici, sono: interferenza).

• 1801 Young dimostra la natura ondulatoria della luce (attraverso i fenomeni di Un fenomeno ondula-lunghezza d’ondatorio è caratterizzato da una (definita in Figura 3), da un periodo (oppure una frequenzaT), e da una velocità di propagazione Per la luce, la velocità è Per chi, come me,⌫ = 1/T v = /T = ⌫. v = c.non conosce le lettere greche, e si pronunciano “lambda” e “nu”.⌫(4)
• 1802 Maxwell unifica le leggi della elettricità e del magnetismo. Predice l’emissione di radiazione elettromagnetica daparte di una carica accelerata. La luce ha natura di onda elettromagnetica (Figura 3). Tutte le radiazioni elettro-magnetiche hanno quindi lo stesso carattere differendo per la lunghezza d’onda (o la frequenza), anche se le loroproprietà possono essere molto diverse (Figura 4). L’intensità e l’energia della radiazione sono proporzionali alquadrato dell’ampiezza. Un corpo è capace di emettere e assorbire radiazioni della stessa frequenza.lampadina èanche neroUnun corpoocorpo nero)
• 1860 Un oggetto non riflettente scaldato (detto emette uno spettro elettromagnetico che dipende dallatemperatura (Figura 5). La teoria classica prevede una intensità che diverge con la frequenza ed è3/I(⌫) ⌫ovviamente in contrasto con gli esperimenti (verremmo uccisi da raggi X e gamma). È una anomalia.continuocambia modonon inqa
• 1909 Millikan. Esperimento della goccia. La carica elettrica è sempre un multiplo intero di una carica elementare. Sivedere tratta della carica dell’elettrone, che si comporta come una particella carica.l' eesperimento dai d'quandosolo respintevengono rulli oro,
• 1909 Rutherford. Scattering (“sparpagliare” in Inglese) di particelle alfa da parte di una lamina di oro. La massaatomica è concentrata nel nucleo. Nasce il modello planetario dell’atomo. La contraddizione con la MeccanicaClassica è stata già illustrata nel primo paragrafo di questo capitolo. Un’altra anomalia.
• 1900 Planck interpreta lo spettro corpo nero introducendo l’ipotesi quantistica: la luce viene emessa in pacchetti conenergia finita proporzionale alla frequenza dove Js è la costante di Planck. Ottiene34E = h⌫, ⌫, h = 6.610cosı̀ l’intensità in perfetto accordo con gli esperimenti. Qui e sono la costante di3 h⌫/kT/I(⌫) ⌫ /(e 1) k TBoltzmann e la temperatura.
• 1888 Effetto fotoelettrico. Hallwachs monta un disco metallico sul pomello di un elettroscopio carico negativamente(Figura 6) e lo illumina con la luce ultravioletta. L’elettroscopio si scarica rapidamente. Se la carica è positiva,oppure un assenza di radiazione, l’elettroscopio non si scarica.
• 1905 Einstein spiega l’effetto fotoelettrico assumendo che la radiazione venga assorbita in pacchetti con energiacon l’emissione di un elettrone.E = h⌫,
• 1908 Il principio di combinazione di Ritz. Era già chiaro che gli atomi emettono solo frequenza discrete (dette“righe”). Ritz notò che la frequenza di qualsiasi riga spettrale è data dalla differenza tra due⌫ E E21 2 1“termini”. Quando fu proposta questa era una regola empirica senza fondamenti teorici. Ora sappiamo che i due“termini” rappresentano in realtà dei livelli energetici. Vedi Figura 8.
• 1923 Effetto Compton. Compton dimostra che effettivamente la radiazione viaggia sotto forma di particelle (fotoni).L’esperimento (illustrato in Figura 7) mostra che quando la radiazione incide su un elettrone a riposo questoFig. 3 - Onda elettromagnetica. Fig. 4 - Lo spettro elettromagnetico.

Capitolo 0. L’alba della meccanica quantistica 4

Fig. 5 - Corpo nero. Fig. 6 - Effetto fotoelettrico. Fig. 7 - Effetto Compton. Fig. 8 - Principio di Ritz.descrizione ondulatoriodi tipo:viene deviato proprio come ci aspettiamo per effetto di un urto con una particella (fotone). Da ,2E = mce ricaviamo e quindi . Qui (mc, per la luce) è la2E = h⌫ c = ⌫, m = h⌫/c p = mc = h⌫/c = h/ p = mvquantità di moto (“linear momentum” in Inglese, “momento” nel gergo dei fisici quantistici).

• 1923 De Broglie: ipotesi che l’elettrone abbia carattere di un’onda con lunghezza d’onda Per motivi che= h/mv.si chiariranno presto, spesso preferiamo la forma dove è la quantità di moto.= h/p, p = mv
• 1927 Davison e Germer. Effetti della diffrazione di un fascio di elettroni da parte di un cristallo. Si ottiene lo stessocomportamento dei raggi X, confermando la natura ondulatoria degli elettroni.
• 1912 Bohr. Modello per l’atomo d’idrogeno, in cui la quantizzazione è imposta sull’apparato della fisica classica. Glielettroni ruotano su orbite circolari con energia costante. Scambi di energia (emissione o assorbimento dih⌫radiazione) si hanno solo per passaggio dell’elettrone tra orbite con Se gli elettroni sono onde,E E = h⌫.2 1come illustrato nelle Figura 9, sono possibili solamente orbite con una circonferenza che è un multiplo2⇡rintero della lunghezza d’onda perché altrimenti le onde accumulano uno sfasamento che provoca= h/mv, ??,interferenza distruttiva. Come è ovvio, e come vedremo in dettaglio nel capitolo solamente alcune particolarienergie sono permesse. Lo spettro dell’atomo d’idrogeno è riprodotto perfettamente.
• www 1989 Tonomura, Endo, Matsuda, Kawasaki e Ezawa. L’esperimento Hitachi della doppia fenditura con elettronisingoli, che abbiamo già descritto e che ha dato esattamente i risultati previsti.
• pdf 2012 Esperimento della doppia fenditura con molecole di 114 atomi (1298 uma). Qualunque oggetto è sia unaparticella che un’onda, persino un essere umano (anche se con minuscola).= h/mv
• 2018 Esperimenti sulla “non località” e dei quali parleremo in seguito: la funzione d’onda è veramente estesa nellospazio e descrive tutte le particelle.

Dualismo onda-particella

Dualismo onda-particella. Dall’esperimento della doppia fenditura e dal riepilogo storico vediamo che fotoni (lu-ce) ed elettroni presentano uno strano comportamento: negli esperimenti di interferenza e diffrazione si comportanocome onde, mentre in altri esperimenti si comportano come particelle. Questi due aspetti sono ineliminabili e vannoaccettati entrambi. Ma è possibile conciliare queste due descrizioni? Per descrivere fenomeni di interferenza siamocostretti a ricorrere al concetto di onde che si sovrappongono. L’intensità è maggiore dove le onde interferiscono co-struttivamente e le ampiezze si sommano, minore dove interferiscono negativamente e le ampiezze si elidono. TuttaviaFig. 9 - Lunghezze d’onda possibili nell’atomo di Bohr, e orbite corrispondenti.onda di lunghezza arbitrariadistruttivadarà interferenza→

Capitolo 0. L’alba della meccanica quantistica 5

2gli esperimenti ci dicono che fotoni ed elettroni partono, viaggiano ed arrivano come particelle. Dobbiamo quindiassociare l’intensità con il numero di particelle, cioè con una probabilità. Dove la probabilità è alta ne arrivano molte,dove è bassa ne arrivano poche. Non possiamo però descrivere il moto delle particelle con le leggi della fisica classica,immaginando che i fotoni (per esempio) si propaghino come i raggi dell’ottica geometrica. Questo potrebbe ancheandare bene finché non intervengono ostacoli o aperture con dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda. A questopunto si ha diffrazione o interferenza e dobbiamo passare ad una descrizione in termini di onde. Se da un lato oggettiche siamo abituati a considerare onde (come la radiazione) mostrano un comportamento di particelle, dall’altro oggettiche siamo abituati a considerare particelle (come gli elettroni) mostrano un comportamento ondulatorio. Partendo daquesto dualismo tra onde e particelle si può pensare di arrivare ad una formulazione comune.meccanica ondulatoria meccanica

Meccanica ondulatoria e meccanica delle matrici

Questo programma fu realizzato nel 1926 con la di Erwin Schrödinger e con ladelle matrici di Werner Heisenberg. Le due teorie sembravano completamente diverse ma davano risultati identici.Poco dopo, infatti, Heisenberg dimostrò che si trattava in realtà di due formulazioni diverse della stessa teoria fonda-mentale. Noi passeremo dall’una all’altra con libertà, perché sono matematicamente equivalenti e ciascuna presentadei vantaggi in certi tipi di calcoli. La meccanica delle matrici è più astratta ed è adatta a discutere le proprietà, lemanipolazioni e le deduzioni più fondamentali della teoria, e noi la useremo a questo scopo. La meccanica ondulatoriaè più adatta a manipolazioni elementari e ad ottenere risultati numerici, e noi la useremo a questo scopo.

Il principio di indeterminazione

Il Principio di Indeterminazione. La Meccanica Classica ammette la possibilità di eseguire misure senza limiti* concettuali di accuratezza, purchè si disponga di strumenti sufficientemente raffinati. Questo non può essere rigorosa-mente esatto perché qualsiasi misura perturba il sistema fisico modificando di conseguenza il valore delle grandezzemisurate. Per misurare la velocità e la posizione di un veicolo, ad esempio, il radar della polizia lo “illumina” con unimpulso di microonde, cioè un fascio di fotoni, la cui quantità di moto altera certamente la velocità del veicolo. Questoeffetto è del tutto trascurato in Meccanica Classica.

La Meccanica Quantistica invece riconosce che vi sono sempre dei limiti, non pratici ma di principio, nell’accu-ratezza della misure, limiti che si manifestano vistosamente quando si considerano i fenomeni a livello microscopico.Questi limiti furono stabiliti dal Principio di Indeterminazione formulato da Heisenberg. Possiamo ricavare questoimportantissimo risultato in forma semplificata, considerando una particella in moto, per esempio un elettrone. Perstabilirne la posizione dobbiamo illuminarlo, usando almeno un fotone, la cui lunghezza d’onda determinerà l’in-xcertezza sulla posizione, che stimiamo dunque come . Tuttavia il fotone, come avviene nell’effetto Compton,x =non si limiterà a venir riflesso per fornirci poi l’informazione sulla posizione dell’elettrone, ma interagirà con esso,scambiando quantità di moto. La variazione della quantità di moto dell’elettrone è evidentemente compresa frapzero e la quantità di moto del fotone , che assumiamo quindi come incertezza massima sulla quantità di moto,p = h/. Il prodotto delle due incertezze è quindi Questa è l’essenza del Principio di Indeterminazione.p = h/ x p h.Vedremo che l’espressione esatta è ma questa differenza non altera la logica della discussione.x p h/4⇡,

Il significato di questa espressione è assolutamente generale: non è possibile determinare simultaneamente posi-zione e momento con una precisione al di sotto di un certo limite, perché una misura di disturba la misura dix p xe viceversa. Ad esempio, possiamo migliorare l’accuratezza sulla posizione della particella illuminandola con unp,fotone di lunghezza d’onda più piccola. Cosı̀ ridurremo l’incertezza ma al tempo stesso aumenteremo l’incertezzax,perché un fotone di lunghezza d’onda più piccola possiede una maggiore quantità di moto. Il prodotto delle duep complementari,incertezze non potrà mai essere inferiore al limite stabilito dal Principio. Le variabili e sono unx pconcetto che non ha equivalenti in Meccanica Classica.

L’effetto dell’indeterminazione, infatti, è impercettibile per gli oggetti macroscopici. Ricordando che p = mv,riscriviamo il principio nella forma Il prodotto delle incertezze sulla posizione e velocità di un oggettox v h/m.è quindi inversamente proporzionale alla sua massa e quindi del tutto trascurabile per oggetti macroscopici. Ma,m,come abbiamo visto, non è cosı̀ per le particelle microscopiche.

La straordinaria intuizione di Heisenberg è che e in qualche modo corrispondano a operazioni matematichex p 3non commutano,che cioè che danno risultati diversi a seconda dell’ordine in cui sono effettuate. Assieme all’ideache ci sia un’onda associata alle particelle, questa intuizione ha guidato lo sviluppo della Meccanica Quantistica. Imatematici hanno identificato due tipi di enti che non commutano: matrici e operatori. Scegliendo i primi si ottienela meccanica delle matrici, scegliendo i secondi si ottiene la meccanica ondulatoria. Riconoscendone la sostanzialeequivalenza, si comprendono meglio entrambe.

Prerequisiti matematici

Prerequisiti matematici. Per proseguire questa storia affascinante ci servono alcuni strumenti matematici, che af-fronteremo via via: Statistica (capitolo 1), Numeri complessi (2), Vettori e funzioni (3), Matrici (4) Operatori (5).Sono strumenti potenti, che ci permettono di trattare oggetti compositi in maniera astratta, senza doverci occupare deidettagli. Li utilizzeremo per manipolare intere funzioni d’onda come singoli oggetti.

2 Le tre proprietà sono fondamentali. Il burro è venduto in pacchetti quantizzati (100 o 250 g, di solito), ma può essere trasportatoe spalmato in qualunque quantità. Il burro non è quantizzato.

3 Esempi: In genere ci mettiamo prima i calzini e poi le scarpe. L’ordine opposto porta a un risultato diverso. Le due operazioninon commutano. L’ordine con cui ci mettiamo la scarpa destra e quella sinistra, invece, è irrilevante. Le due operazioni commutano.Equazione delle onde ÌÌb " "È&quo