Giornata di Studio Analisi Non Standard 5 (ebook)

i

Quinta giornata nazionale di Analisi non standard nelle scuole superiori

Atti del convegno

Verona, 10 ottobre 2015

ii V giornata di studio NSA

La giornata di studio si è svolta presso il Dipartimento di Informatica dell’Università di Verona

Sabato, 10 ottobre 2015.

Impaginato a cura di Bruno Stecca e Daniele Zambelli

« Matematicamente

info@matematicamente.it

ISBN

febbraio 2016

Licenza CC-BY-ND

http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode

ii V giornata di studio NSA

L’Associazione Mathesis - Società Italiana di Scienze MM. e FF. - sezione di Verona

Il Dipartimento di Informatica dell’Università degli Studi di Verona

Il Piano Lauree Scientifiche - Università degli Studi di Verona

Il Gruppo promotore NSA - Verona

organizzano la

a

5 giornata nazionale di Analisi non standard

Verona, sabato 10 ottobre 2015

–

Sede: Dipartimento di Informatica Università di Verona - Strada Le Grazie 15

–

Sessione del mattino: ore 9:00 12:45

9.00 Registrazione

9.25 Inizio lavori, saluti e comunicazioni organizzative

9.30 Ruggero Ferro, Fondamenti della Matematica - UNIVR

Ritorno all’analisi infinitesimale

10.15 Giorgio Goldoni, ITIS Leonardo Da Vinci - Carpi (MO)

Uso di strumenti ottici non standard per un approccio visivo ad alcuni teoremi di analisi

11.00 Pausa

11.15 Mauro Di Nasso, Logica Matematica - UNIPI

Introduzione all’analisi con infinitesimi

12.00 Andrea Sellaroli, Liceo Scientifico G. Fracastoro - Verona

Condensatori: dall’esperimento all’equazione differenziale

–

12.45 14.15 Pausa pranzo –

Sessione pomeridiana: 14.15 17.00

14.15 Organizzazione e avvio lavori

–

14.30 16.00 Interventi in sezioni parallele (i partecipanti potranno seguire tre interventi, a scelta):

Al momento le comunicazioni accettate comprendono:

Paolo Bonavoglia, Liceo Classico M. Foscarini - Venezia

Percorsi, difficoltà ed errori da evitare nell’insegnamento della NSA nei Licei

Sergio Casiraghi, e-Tutor Master DIDASCA - Sondrio

La NSA nella didattica viva della scuola secondaria superiore: una terza via

Andrea Centomo, Liceo Scientifico F. Corradini - Thiene (VI)

Problemi di Massimo e Minimo: un confronto tra metodi standard e non standard

Lucia Rapella, ITCG P. Saraceno - Morbegno (SO)

Sui teoremi del calcolo integrale

Roberto Zanasi, ITIS E. Fermi - Modena

Il piè veloce Achille e la ipertartaruga –

Bruno Stecca & Daniele Zambelli, Liceo Scientifico G. Fracastoro Verona

Materiali didattici per l’insegnamento della NSA

16.00 Discussione e conclusioni.

17 00 Fine lavori

Dispensa MIUR dall’insegnamento Prot. n. AOODGPER 24631– Roma 07- 08 - 2015 – Dirigente Giuseppe Bonelli

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Per informazioni e invio di comunicazioni nsa2015vr@gmail.com, Tel. 348 7310069 per iscrizioni info@mathesisverona.it

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Indice

Presentazione v

1 Ritorno all’analisi infinitesimale 1

1.1 Problemi dalla realtà e numeri trascurabili . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ipernaturali e nozioni di infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ruolo degli ipernaturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Confronto tra nozioni di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Ruolo del linguaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Strumenti ottici per un approccio ad alcuni teoremi di analisi 15

2.1 Determinazione numerica di un probabile asintoto obliquo . . . . . 15

2.2 Determinazione di un asintoto obliquo . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Una visualizzazione per le regole de l’Hôpital nella forma discreta . 20

2.4 Il caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Un’introduzione all’analisi con infinitesimi 25

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Introduzione di nuovi insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Numeri grandi e numeri piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 I numeri superreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Presentazioni assiomatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 I numeri iperreali, assiomaticamente . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.8 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Condensatori: dall’esperimento all’equazione differenziale 45

4.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 L’esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 L’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Percorsi, difficoltà, errori nell’uso della NSA nei licei 51

5.1 Anticipare analisi? al III anno? al IV anno? . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Limiti sì o no? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Ma la matematica ha una storia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4 L’esame di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Link e libri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

iii

iv V giornata di studio NSA

6 La NSA nel vivo della didattica: una terza via 63

6.1 Cinque buone ragioni per insegnare l’Analisi Non Standard . . . . 64

6.2 Nuovi orizzonti nella formazione su siti web aperti . . . . . . . . . 65

6.3 Problemi riproposti con soluzione rapida in NSA+ riferiti a EASSS 67

6.4 Due, tre o più vie per portare la NSA nella pratica didattica . . . 72

6.5 La disponibilità di libri di testo e approcci pedagogici in NSA . . . 74

6.6 Miscellanea per progetti di passaggio alla NSA . . . . . . . . . . . 75

6.7 Conclusione del passaggio a Nord-Ovest . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Problemi di massimo e minimo 79

7.1 Le botti di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Soluzione non standard e metodo di Fermat . . . . . . . . . . . . 83

7.3 Lattine di birra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4 Leibniz e la legge della rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.5 Il rigore nell’approccio standard e non standard . . . . . . . . . . 86

7.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8 Sui teoremi del calcolo integrale 91

8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2 L’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.3 Le proprietà e i teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9 Materiali didattici per l’insegnamento dell’Analisi Non Standard 97

9.1 Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.2 La derivata standard e il suo significato geometrico . . . . . . . . 98

9.3 La derivata non standard nel percorso del prof. Apotema . . . . . 99

9.4 Tener conto della parte infinitesima . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.5 Il grado di accuratezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.6 Il progetto del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7 Come collaborare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10 Il piè veloce Achille e la ipertartaruga 107

10.1 Il paradosso di Zenone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.2 La definizione di serie numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.4 Condizione necessaria di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10.5 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Presentazione

La quinta edizione della Giornata nazionale di studio sull’Analisi non Standard per la scuola superiore, svoltasi a Verona il 10 ottobre 2014, è stata un buon successo. Possiamo dirlo oggi, a posteriori, ricordando gli oltre 160 presenti e il loro apprezzamento per le attività in programma.

Possiamo attribuire il successo ad alcune semplici ragioni:

• Ragioni di contenuto, legate all’esigenza di approfondire temi essenziali ai curricoli e di dibattere esperienze didattiche innovative consolidate o recenti;
• Ragioni organizzative, legate all’autorevolezza degli enti organizzatori e al lavoro capillare che è stato messo in campo.

Il gruppo di lavoro che ha progettato il convegno era composto da:

• Ruggero Ferro (Univr), per il Dipartimento di Informatica, sede dell’evento;
• Sisto Baldo (Univr), per il Progetto Lauree Scientifiche, che ha fornito il supporto economico;
• Alberto Burato e Luciano Corso, dell’Associazione Mathesis, sezione di Verona, fondamentale supporto sia per le comunicazioni che per l’esonero ministeriale;
• Leonardo Aldegheri, Bruno Stecca, Daniele Zambelli, per l’organizzazione e il coordinamento.

Il convegno è stato preparato anche scrivendo e diffondendo un articolo introduttivo all’Analisi non Standard, comparso nel n. 205 della rivista elettronica Matematicamente, che è stato diffuso a tutti gli iscritti al convegno e ai soci della Mathesis, nella speranza di avvicinare anche i meno esperti ai temi trattati.

v

vi V giornata di studio NSA

La giornata aveva un tema: “L’Analisi non standard e la didattica dell’Analisi matematica”, con una caratterizzazione. Infatti avevamo chiesto ai relatori di presentare

• Alcuni aspetti teorici essenziali;
• Esperienze concrete di insegnamento;

sottolineando, in confronto con i metodi tradizionali:

• I vantaggi del nuovo approccio per lo studente e per il docente;
• Gli eventuali punti critici;
• L’eleganza nella ricerca della soluzione di un problema.

Gli articoli che seguono sono le relazioni, riviste dagli autori nelle settimane successive all’evento. Essi costituiscono, a nostro avviso, un interessante e utile stimolo alla formazione dei docenti e un quadro fedele delle esperienze didattiche in campo.

Febbraio 2016 Il gruppo NSA - Verona

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Ritorno all’analisi infinitesimale

Ruggero Ferro

Vista l’impossibilità del linguaggio, sia formale che informale, di dire di cosa si sta parlando se non si assumono già noti per via non linguistica alcuni concetti da cui derivare gli altri, per capire gli sviluppi e le affermazioni dell’analisi matematica è opportuno rifarsi ai problemi che ha inteso affrontare: il movimento e la determinazione di aree non delimitate da spezzate chiuse. Nel Rinascimento si cominciò ad affrontare questi problemi usando quantità trascurabili da certi punti di vista, e il lavorio per precisare questa nozione fu molto travagliato. Direi che il motivo fondamentale di queste difficoltà fu che ci si scontrava con un concetto di infinito (e infinitesimo) intuito ma allora non ben chiarito. Una mentalità aristotelica e archimedea delle critiche ha portato all’abbandono dei fruttuosi metodi infinitesimali che non sapevano rispondere alle obiezioni. Gli sviluppi del ventesimo secolo richiesti dalla crisi dei fondamenti hanno mostrato come superare gli ostacoli, permettendo di utilizzare le idee di quattro secoli fa in modo rigoroso, semplice ed efficiente: ritornando agli infinitesimi. Ora il problema si gioca sul come conciliare l’idea di infinito attuale di Cantor (sviluppatasi nel frattempo) con quella infinitesimale. Il mio intervento intende esplicitare e chiarire, con la semplicità richiesta dal tempo limitato, le problematiche qui velocemente adombrate.

1.1 Problemi dalla realtà e numeri trascurabili

Il linguaggio (sia formale che informale) non è in grado di precisare di cosa sta parlando, senza assumere che sia noto, per via non linguistica, il significato di alcune parole. Così è opportuno partire da problemi presenti nell’esperienza quotidiana e da situazioni concrete per cogliere i quali non è necessario il linguaggio. Ecco problemi che hanno portato all’analisi matematica: velocità istantanea, pendenza in un punto, volume di un solido anche se non limitato da facce poligonali piane.

La velocità istantanea è un fatto facilmente sperimentabile e si possono confrontare direttamente velocità istantanee, anche con strumenti meccanici. È goffamente artificioso definirla come il limite della velocità media, piuttosto è lo spostamento globale in un arco di tempo che è ottenuto dai contributi delle velocità istantanee in quel periodo. Per avvicinarsi a una misurazione della velocità istantanea, possiamo vederla come il rapporto tra lo spostamento in un istante e la durata dell’istante stesso, durata che è così assolutamente piccola da essere non apprezzabile, è trascurabile. Per stimare la velocità istantanea di un oggetto si potrebbe fotografarlo con un certo tempo di esposizione e poi misurare quanto l’immagine sia mossa (abbia contorni imprecisi). Minore è il tempo di esposizione meno mossa sarà l’immagine e la velocità istantanea potrebbe essere valutata come rapporto tra l’imprecisione dei contorni e il tempo di esposizione. Ci si potrebbe accontentare di un’immagine scattata con un tempo d’apertura così breve che non si riesce ad accorgersi che è mossa. Ma ciò potrebbe essere rilevato da strumenti più precisi. Allora ci inventiamo una macchina fotografica con tempo di apertura assolutamente piccolo, e imprecisione dei contorni dell’immagine assolutamente piccoli da essere trascurabili. Comunque il rapporto tra imprecisione dei contorni e tempo di apertura ci dà una valutazione della velocità istantanea dipendente dal tempo di apertura, ma con variazioni trascurabili. Così, trascurati i trascurabili, possiamo dire di avere una buona indicazione della velocità istantanea.

Un simile approccio può essere adottato per la pendenza. Pure il volume di un solido può esser visto come la somma infinita di elementi infinitesimi di volume. Questi problemi ci portano a immaginare variazioni trascurabili in un continuo di possibilità, con le difficoltà del concetto di continuo che concepiamo senza buchi né interruzioni:

1. Vorremmo misurare le grandezze in un continuo contando le unità di misura contenute, o loro n-esimi (si sta ancora contando con i razionali), ma questo desiderio non è realizzabile a causa della presenza di grandezze incommensurabili.
2. Vorremmo almeno misurare queste grandezze approssimandole con multipli razionali di un’unità di misura, approssimazioni che concepiamo tanto precise quanto permettono i multipli razionali. Ma, perché mai tra le approssimazioni razionali per difetto e quelle per eccesso ci deve essere un solo elemento separatore?

Se ce ne fossero più di uno? La distanza tra loro sarebbe minore di 1/n per ogni naturale n positivo. Si sente l’esigenza di grandezze trascurabili/infinitesime.

Diciamo che una grandezza ξ positiva è trascurabile (piccola in modo assoluto)

1 .

se, 0 < ξ e, per ogni naturale positivo n, ξ < n

Caratteristica dei numeri trascurabili non nulli: aggiungendo, anche ripetutamente, trascurabili si mantiene la trascurabilità.

1

Se ξ è maggiore di 0 e minore di per ogni n naturale positivo, allora, per

n 1

×

ogni k naturale positivo, k ξ è pure maggiore di 0 (ovvio) e minore di per ogni

n

1

n positivo. Infatti, dall’ipotesi (ξ < per ogni naturale positivo m) segue che,

m

1. Ritorno all’analisi infinitesimale 3

1 ×

per ogni scelta dei naturali positivi k e n, ξ < (anche k n è un naturale

k×n

1 1

× × ×

positivo), sicché k ξ < k , cioè k ξ < , per ogni n naturale positivo, e

k×n n

×

k ξ è trascurabile. QED.

È accettabile ammettere che ci siano quantità trascurabili, assolutamente piccole e non nulle? A che possono servire grandezze tanto piccole da essere trascurabili?

Trascuriamole e basta! Invece, grandezze, anche se trascurabili, possono portare a risultati utili: il rapporto tra due di esse può essere non trascurabile. Ad esempio

ξ = 1.

ξ Se si accettano i numeri trascurabili e si vuole che questi siano numeri a tutti gli effetti, bisogna costruire un nuovo sistema numerico (detto degli iperreali) che, oltre loro, includa i reali e sia chiuso per le usuali operazioni. Così ci saranno gli opposti di iperreali, i reciproci degli infinitesimi, che saranno infiniti (in valore assoluto maggiori di tutti i numeri naturali), iperreali finiti (in valore assoluto minori di un qualche naturale).

Gli iperreali finiti sono del tipo un reale più un infinitesimo, e il reale infinitamente vicino a un iperreale finito (cioè che dista un infinitesimo da questo) viene detto parte reale o parte standard dell’iperreale finito.

Ci si può fare un’idea di cosa sono e come agiscono i trascurabili e gli iperreali?

Per precisare ciò, Leibniz esplicitò il principio che va sotto il suo nome: gli iperreali hanno tutte le stesse proprietà dei numeri (reali).

Non tutte! Non l’archimedeità, ad esempio.

Quali allora? Quelle che vanno bene! E l’esperto sa quali sono.

Questa risposta degli inizi dell’analisi matematica lascia perplessi, e perplessi furono molti studiosi dell’epoca. Oggi la risposta è ben diversa e la vedremo in seguito. Tuttavia, il rifiuto degli infinitesimi non fu per questa imprecisione nel dichiarare il loro comportamento, ma per una rigida mentalità archimedea: non ci

1

può essere niente tra 0 e tutti i numeri del tipo , con n naturale positivo. Perché

n

tale divieto? Perché la retta deve essere archimedea? Per vedere meglio come è

fatta la retta nei pressi dell’origine ingrandiamola n volte, cambiando scala (zoom

×n):