Calcolo integrale in più variabili

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Calcolo integrale in più variabili

Integrali doppi

Nel caso di una funzione di una variabile f : [a, b] → R, supponendo f continua e f (x) ≥ 0 ∀x ∈

[a, b], la quantità Z b f (x)dx

a

indica l’area fra il grafico della funzione e l’asse x. Analogamente gli integrali doppi esprimono

il volume dei solidi delimitati dal grafico di funzioni di due variabili e dal piano xy (z = 0).

Supponiamo di avere una funzione f : D → R, D ⊂ R compatto e f continua e f (x, y) ≥

0 ∀(x, y) ∈ D, allora ZZ f (x, y)dxdy

D

indica il volume del solido delimitato dal grafico della f e dal piano xy. Tagliando la superficie

con dei piani si ottengono delle curve, di cui si può calcolare l’area.

2 2

Esempio: si consideri la funzione f : D → R : (x, y) 7→ x + y + 1, con D = [−1, 1] × [−1, 1].

In questo caso il dominio della funzione è un quadrato. L’area del solido delimitato dal grafico

di f e dal piano xy è, al solito ZZ f (x, y)dxdy

D

Fissiamo y arbitrariamente e tagliamo la superficie con un piano di equazione y = y , y ∈ R.

0 0

2 2

Se il grafico della funzione ha equazione cartesiana z = x + y + 1, dopo aver fissato y si ottiene

2 2

z = x + (1 + y )

0

che è una parabola rispetto a x. L’area della zona data dall’intersezione fra il piano y = y e la

0

parte delimitata dal grafico della funzione e dal piano xy vale

¸

·

Z 1

1 3 8

2

x 2

2

2

2 2 + 2y = a (y )

+ 2y + 2 =

+ y x + 1 =

(x + y + 1)dx = 0

0

0

0

0 3

3

3

−1 −1

Spostandosi di un incremento dy si ottiene una sezione molto simile, di conseguenza a (y + dy) ≈

0

a (y ). Il volume di questa fetta, che di fatto è un volume infinitesimo, vale

0 dv = a (y ) dy

0

Per calcolare il volume totale è necessario sommare tutti questi volumi infinitesimi, ovvero è

necessario calcolare l’integrale di a (y ) rispetto a y, per y ∈ [−1, 1], ovvero

0 ¸

¶ ·

µ

Z Z 1

1 1 20

2

8

8 3

y =

y +

+ 2y dy =

a (y ) dy =

0 3

3

3

3

−1 −1 −1

1

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Di conseguenza ZZ 20

f (x, y)dxdy = 3

D

Il procedimento usato si riassume cosı̀ µZ ¶

Z

ZZ

ZZ 1 1 2 2

2 2 (x + y + 1)dx dy

(x + y + 1)dxdy =

f (x, y)dxdy = −1 −1

D

D

Invertendo l’ordine di integrazione il risultato non cambia. In generale, sia D = [a, b] × [c, d] e

sia f : D → R una funzione continua, allora

ZZ Z Z Z Z

d b b d

f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx

D c a a c fra il volume della parte sopra

Se f cambia segno allora l’integrale doppio è la somma algebrica

il piano xy e quella sotto. 2

Definizione: dato A ⊂ R , se esistono due funzioni continue g , g : [a, b] → R tali che

1 2

© ª

2

A = (x, y) ∈ R : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ g (x)

1 2

allora l’insieme A si dice y–semplice. Analogamente, se esistono due funzioni continue h , h :

1 2

[c, d] → R tali che A = {(x, y) ∈ R : c ≤ y ≤ d, h (y) ≤ x ≤ h (y)}

1 2

2

allora l’insieme A si dice x–semplice. Se un sottoinsieme di R è y–semplice, allora comunque

si tagli l’insieme con una retta nel piano di equazione x = k (k ∈]a, b[) si ottiene sempre un

1 1

2

segmento. Se invece un sottoinsieme di R è x–semplice, allora comunque si tagli l’insieme con

una retta nel piano di equazione y = k (k ∈]c, d[) si ottiene sempre un segmento.

2 2

Esempio: il cerchio unitario con centro nell’origine è un insieme sia x–semplice che y–semplice,

dato che può essere scritto in questi due modi o

n p

p

2 2

2 1 − y x–semplice

1 − y ≤ x ≤

(x, y) ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1, − o

n p

p

2 2

2 1 − x y–semplice

1 − x ≤ y ≤

(x, y) ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1, −

Verificare per esercizio che i triangoli e i rettangoli sono insiemi sia y–semplici che x–semplici.

Esempio: in Figura 1 è riportato un insieme y–semplice ma non x–semplice.

Figura 1: Insieme y–semplice ma non x–semplice

Come si può vedere l’insieme non è x–semplice, se infatti lo si taglia con la retta y = 2 non si

ottiene un segmento, bensı̀ due segmenti.

Esempio: in Figura 2 è riportato un insieme che non è né y–semplice né x–semplice.

2

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Figura 2: Insieme né x–semplice né y–semplice

Stavolta l’insieme considerato, oltre a non essere x–semplice, non è neppure y–semplice. Se ad

esempio lo si taglia con la retta di equazione x = −2, non si ottiene un segmento, bensı̀ due

segmenti.

Teorema: si consideri un insieme y–semplice, del tipo

© ª

2

A = (x, y) ∈ R : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ g (x)

1 2

e si consideri una funzione f : A → R continua nel suo dominio. Allora

ZZ f (x, y)dxdy

A

esiste finito, e risulta ZZ Z Z

b g (x)

2

f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx

(x)

A a g

1

Il Teorema si estende analogamente ai domini x–semplici. Sia

© ª

2

B = (x, y) ∈ R : c ≤ y ≤ d, h (y) ≤ x ≤ h (y)

1 2

e si consideri una funzione f : B → R continua nel suo dominio. Allora

ZZ f (x, y)dxdy

B

esiste finito, e risulta ZZ Z Z

d h (y)

2

f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy

B c h (y)

1

Ci sono casi in cui il dominio di integrazione non sia né x–semplice né y–semplice, ma comunque

dato dall’unione di un numero finito di domini x–semplici (o y–semplici).

Si consideri un insieme A, e supponiamo che non sia né x semplice né y–semplice. Supponiamo

inoltre che A = A ∪ A ∪ . . . ∪ A

1 2 n

e che A ∩ A = ∅ per ogni i, j = 1, 2, . . . , n con i 6 = j

i j

e supponiamo che A sia un dominio semplice (non importa se rispetto a x o rispetto a y), per

i

i = 1, 2, . . . , n. Sia f : A → R una funzione continua nel suo dominio, allora

ZZ f (x, y)dxdy

A 3

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esiste finito, e risulta ZZ

ZZ n

X f (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy = A

A i=1 i

Una volta scritto l’integrale secondo questa somma è sufficiente sfruttare i risultati forniti dal

precedente Teorema. ¤

£ √ 2

2 x) , calcolare

Esempio: data la funzione f : R → R : (x, y) 7→ sin (π −

ZZ f (x, y)dxdy

T √ π,

dove T è la parte di piano interna al triangolo delimitato dalle rette di equazione x = 2

√ π, x = y.

y =

Il dominio è sia x–semplice che y–semplice, proviamo a scriverlo come x–semplice

ª

© √

√

√

2 π

π, y ≤ x ≤ 2

π ≤ y ≤ 2

T = (x, y) ∈ R :

A questo punto si può impostare l’integrale in questo modo

√

√ Z

Z π

2

π

2 ¤

£ √ 2

x) dxdy

sin (π −

√ y

π ¤

£ √ 2

x) (ovviamente rispetto

Non è possibile trovare una primitiva in forma elementare di sin (π −

a x), per questo motivo, seguendo questa via, l’integrale non è calcolabile. Proviamo a scrivere

l’insieme T come ins