Calcolo integrale in più variabili

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Calcolo integrale in più variabili

Integrali doppi

Nel caso di una funzione di una variabile f : [a, b] → R, supponendo f continua e f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], la quantità

∫_a^b f (x)dx

indica l’area fra il grafico della funzione e l’asse x. Analogamente gli integrali doppi esprimono il volume dei solidi delimitati dal grafico di funzioni di due variabili e dal piano xy (z = 0).

Supponiamo di avere una funzione f : D → R, D ⊂ R² compatto e f continua e f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ D, allora

∫∫_D f (x, y)dxdy

indica il volume del solido delimitato dal grafico della f e dal piano xy. Tagliando la superficie con dei piani si ottengono delle curve, di cui si può calcolare l’area.

Esempio: si consideri la funzione f : D → R : (x, y) 7→ x² + y² + 1, con D = [−1, 1] × [−1, 1].

In questo caso il dominio della funzione è un quadrato. L’area del solido delimitato dal grafico di f e dal piano xy è, al solito

∫∫_D f (x, y)dxdy

Fissiamo y arbitrariamente e tagliamo la superficie con un piano di equazione y = y₀, y₀ ∈ R.

Se il grafico della funzione ha equazione cartesiana z = x² + y² + 1, dopo aver fissato y si ottiene

z = x² + (1 + y₀²)

che è una parabola rispetto a x. L’area della zona data dall’intersezione fra il piano y = y₀ e la parte delimitata dal grafico della funzione e dal piano xy vale

∫₋₁¹ (x² + y₀² + 1)dx = [x³/3 + (y₀² + 1)x]₋₁¹ = 2/3 + 2y₀² + 2 = 8/3 + 2y₀² = a (y₀)

Spostandosi di un incremento dy si ottiene una sezione molto simile, di conseguenza a (y₀ + dy) ≈ a (y₀). Il volume di questa fetta, che di fatto è un volume infinitesimo, vale

dv = a (y₀) dy

Per calcolare il volume totale è necessario sommare tutti questi volumi infinitesimi, ovvero è necessario calcolare l’integrale di a (y₀) rispetto a y, per y ∈ [−1, 1], ovvero

∫₋₁¹ a (y₀) dy = ∫₋₁¹ (8/3 + 2y²)dy = [8y/3 + 2y³/3]₋₁¹ = 20/3

www.matematicamente.it

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Di conseguenza

∫∫_D f (x, y)dxdy = 20/3

Il procedimento usato si riassume così

∫∫_D f (x, y)dxdy = ∫₋₁¹ ∫₋₁¹ (x² + y² + 1)dx dy

Invertendo l’ordine di integrazione il risultato non cambia. In generale, sia D = [a, b] × [c, d] e sia f : D → R una funzione continua, allora

∫∫_D f (x, y)dxdy = ∫_c^d ∫_a^b f (x, y)dxdy = ∫_a^b ∫_c^d f (x, y)dydx

Se f cambia segno allora l’integrale doppio è la somma algebrica fra il volume della parte sopra il piano xy e quella sotto.

Insiemi x-semplici e y-semplici

Definizione: dato A ⊂ R², se esistono due funzioni continue g₁, g₂ : [a, b] → R tali che

A = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}

allora l’insieme A si dice y–semplice. Analogamente, se esistono due funzioni continue h₁, h₂ : [c, d] → R tali che A = {(x, y) ∈ R² : c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}

allora l’insieme A si dice x–semplice. Se un sottoinsieme di R² è y–semplice, allora comunque si tagli l’insieme con una retta nel piano di equazione x = k (k ∈]a, b[) si ottiene sempre un segmento. Se invece un sottoinsieme di R² è x–semplice, allora comunque si tagli l’insieme con una retta nel piano di equazione y = k (k ∈]c, d[) si ottiene sempre un segmento.

Esempio: il cerchio unitario con centro nell’origine è un insieme sia x–semplice che y–semplice, dato che può essere scritto in questi due modi

• (x, y) ∈ R² : −1 ≤ y ≤ 1, −√1 − y² ≤ x ≤ √1 − y² — x–semplice
• (x, y) ∈ R² : −1 ≤ x ≤ 1, −√1 − x² ≤ y ≤ √1 − x² — y–semplice

Verificare per esercizio che i triangoli e i rettangoli sono insiemi sia y–semplici che x–semplici.

Esempio: in Figura 1 è riportato un insieme y–semplice ma non x–semplice.

Figura 1: Insieme y–semplice ma non x–semplice

Come si può vedere l’insieme non è x–semplice, se infatti lo si taglia con la retta y = 2 non si ottiene un segmento, bensì due segmenti.

Esempio: in Figura 2 è riportato un insieme che non è né y–semplice né x–semplice.

www.matematicamente.it

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Figura 2: Insieme né x–semplice né y–semplice

Stavolta l’insieme considerato, oltre a non essere x–semplice, non è neppure y–semplice. Se ad esempio lo si taglia con la retta di equazione x = −2, non si ottiene un segmento, bensì due segmenti.

Teorema

Si consideri un insieme y–semplice, del tipo

A = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}

e si consideri una funzione f : A → R continua nel suo dominio. Allora

∫∫_A f (x, y)dxdy

esiste finito, e risulta

∫∫_A f (x, y)dxdy = ∫_a^b ∫_g1(x)^g₂(x) f (x, y)dydx

Il Teorema si estende analogamente ai domini x–semplici. Sia

B = {(x, y) ∈ R² : c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}

e si consideri una funzione f : B → R continua nel suo dominio. Allora

∫∫_B f (x, y)dxdy

esiste finito, e risulta

∫∫_B f (x, y)dxdy = ∫_c^d ∫_h1(y)^h₂(y) f (x, y)dxdy

Ci sono casi in cui il dominio di integrazione non sia né x–semplice né y–semplice, ma comunque dato dall’unione di un numero finito di domini x–semplici (o y–semplici).

Si consideri un insieme A, e supponiamo che non sia né x semplice né y–semplice. Supponiamo inoltre che A = A₁ ∪ A₂ ∪ . . . ∪ A_n

e che A_i ∩ A_j = ∅ per ogni i, j = 1, 2, . . . , n con i 6 = j

e supponiamo che A_i sia un dominio semplice (non importa se rispetto a x o rispetto a y), per i = 1, 2, . . . , n. Sia f : A → R una funzione continua nel suo dominio, allora

∫∫_A f (x, y)dxdy

esiste finito, e risulta

∫∫_A f (x, y)dxdy = ∑_i=1ⁿ ∫∫_Ai f (x, y)dxdy

Una volta scritto l’integrale secondo questa somma è sufficiente sfruttare i risultati forniti dal precedente Teorema. ¤

Esempio

Esempio: data la funzione f : R² → R : (x, y) 7→ sin²(π − √x), calcolare

∫∫_T f (x, y)dxdy

dove T è la parte di piano interna al triangolo delimitato dalle rette di equazione x = √π, y = √π, x = y.

Il dominio è sia x–semplice che y–semplice, proviamo a scriverlo come x–semplice

T = {(x, y) ∈ R² : √π ≤ y ≤ 2√π, y ≤ x ≤ 2√π}

A questo punto si può impostare l’integrale in questo modo

∫_√π^2√π ∫_y^2√π sin²(π − √x) dxdy

Non è possibile trovare una primitiva in forma elementare di sin²(π − √x) (ovviamente rispetto a x), per questo motivo, seguendo questa via, l’integrale non è calcolabile.