Calcolo differenziale: Matematica generale

Calcolo differenziale

• Rapporto incrementale e derivata
• Linearizzazione di una funzione
• Derivabilità e continuità
• Punti di non derivabilità
• La funzione derivata
• Derivate funzioni elementari
• Operazioni aritmetiche e derivazione
• Derivata funzione composta
• Derivata funzione inversa
• Derivate di ordine superiore
• Teorema di Lagrange e Corollari
• Test di monotonia
• Caratterizzazione funzioni costanti
• Teorema del limite della derivata

Primitive

• Primitive immediate
• Metodi di integrazione
• Integrazione per scomposizione
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione
• Punti di massimo e minimo locali
• Teorema di Fermat
• Studio della natura di un punto critico
• Studio della natura di un punto di frontiera
• Punti di massimo e minimo globali
• Funzioni concave e convesse
• Punti di flesso
• Formula di Taylor con resto secondo Peano
• Condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi locali e punti di flesso
• Schema per lo studio di funzione

Rapporto incrementale

∈ 6 ∈ Sia = (a, ed = 0 tale che + I b), x I h x h I. 0 0 →

Data una funzione f: I → IR, la quantità −4f (x + (x )(x f h) f, h) 0 00 =h h viene detta rapporto incrementale relativo al punto e all’incremento x h. 0

Da un punto di vista geometrico, esso rappresenta il coefficiente angolare della corda congiungente i punti del grafico (x (x )) e (x + (x +, f h, f h)). 0 0 0 0

y b+(x h)f 0 b(x )f 0 x +(x xh)0 03

Si dice che è derivabile in finito f x 0 −(x + (x )f h) f0 0 lim hh→0 e tale numero viene detto derivata di f in ed x 0 indicato con uno dei seguenti simboli: df0 (x ), (x ), (x ). f Df0 0 0 dx 0

Da un punto di vista geometrico (x ) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di in (x (x )). f , f0 0

Esempi

4f (2, h)2 • ⇒ ⇒ (x) = = 2 = +4f x , x h0 h0 (2) = 4.f 4

f1 (1, 1h) • ⇒ − ⇒ (x) = = 1 =f , x 0 1+x h h0 −1.(1) =f √ 2

• −4 ⇒ (x) = + 3x, =f x x 0√ 24f − −(−4, 5h + 4 2h) h 0 ⇒ (−4) == fh h5− .4 4

Linearizzazione di una funzione

Se è derivabile in si ha f x 0 0 ·(x + = (x ) + (x ) +f h) f f h o(h)0 0 0

Ponendo = + si ottiene x x h,0 0 · − −(x) = (x ) + (x ) (x ) + )f f f x o(x x0 0 0 0

E nei punti vicini ad possiamo approssimare x x 0 la funzione con la funzione lineare f 0 −(x) = (x ) + (x )(x )y f f x0 0 0 che ammette come grafico la retta tangente al grafico di nel punto (x (x )):f , f0 0

y b+(x h)f 0 b(x )f 0 x +(x xh)0 05

Derivabilità e continuità

Teorema. Se una funzione è derivabile in f x 0 allora è continua in .x 0

Osservazione. La derivabilità è solo una condizione sufficiente per la continuità. Esistono funzioni continue in un punto che sono ivi non derivabili.

Le seguenti funzioni sono tutte continue in = 0x ma non sono ivi derivabili:

• √ (flesso a tangente verticale)1) (x) = 3 xf |x|
• (Punto angoloso) f √3 23) (x) =
• (Punto di cuspide) f x 1· 6sin per = 0x x x4) (x) =f 0 per = 0x

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Punti di non derivabilità

Sia una funzione continua in un punto interno f x 0 al suo dominio. Il punto è un punto di non x 0 derivabilità quando si verifica una delle seguenti condizioni:

−(x + (x )f h) f0 01) lim esiste infinito.h→0 h

Il grafico di ammette in (x (x )) una retta f , f0 0 tangente verticale ed il punto viene detto x 0 punto di flesso a tangente verticale.

y y(+∞) (−∞)x xx x0 0

− −(x + (x ) (x + (x )f h) f f h) f0 0 0 062) lim = lim+h→0 h hh→0− ed almeno uno esiste finito.

Il punto viene detto punto angoloso.x 0 7

Se entrambi i limiti sono finiti si pone:

−(x + (x )f h) f0 0 0 lim = (x ) (derivata destra)f 0+h+h→0

−(x + (x )f h) f0 0 0 = (x ) (derivata sinistra)lim f 0−hh→0

− −(x + (x )f h) f0 03) lim = +∞ (+h→0 h −(x + (x )f h) f0 0 −∞= (+∞)limh→0− h

Il punto viene detto punto di cuspide.x 0

y y(−∞) (+∞) (+∞) (−∞)x xx x0 0

4) Almeno uno dei due limiti −(x + (x )f h) f0 0 lim ,+h→0 h −(x + (x )f h) f0 0 limh→0− h non esiste. 8

Osservazione. Quando il punto è un punto del x 0 dominio della funzione non interno ad esso, si può calcolare solo il limite destro o sinistro del rapporto incrementale in . In questo caso esisterà x 0 eventualmente solo la derivata destra o sinistra della funzione in . Una situazione tipica di questa situazione si ha quando la funzione è definita fin un intervallo chiuso [a, b].9

La funzione derivata

Una funzione è derivabile in un intervallo =f I (a, se risulta derivabile in tutti i punti di b) I.

In questo caso risulta definita una funzione che associa ad ogni punto di il valore della derivata I di in quel punto:f 0

−→ (x)x f

Tale funzione viene detta funzione derivata ed indicata con uno dei seguenti simboli: df0 (x)(x), (x),f Df dx10

Derivate funzioni elementari

α α−1 ⇒ ·0(x) = (x) =f x f α xx x

0 ⇒ · 6(x) = (x) = ln 0, = 1.f a f a a, a > ax x

⇒ 0(x) = (x) =f e f e . 10

⇒ · 6(x) = log (x) = log 0, = 1.f x f e, a > aaa x10

⇒ (x) = ln (x) = .f x f x

⇒ 0(x) = sin (x) = cosf x f x.

0 ⇒ −(x) = cos (x) = sinf x f x.11

Operazioni aritmetiche e derivazione

Siano e due funzioni derivabili in = (a,f g I b).

• · · ∈ 1) (x)) = (x),D(c f c Df c IR.
• ± ± 2) (x) = (x)D(f g(x)) Df Dg(x).
• · · · 3) (x) = (x) + (x)D(f g(x)) Df g(x) f Dg(x) (si estende anche a più fattori)
• · − ·(x) (x) (x)f Df g(x) f Dg(x)4) =D 2 (x)g(x) g

Esempi

√ 3 x·− (x) = log + 3 ,(x) = 2x 3 x, f x xf 3√x xx·

(x) = (x) = ,f x e , f 2 ln xsin x(x) = tan = .f x cos x 12

Derivata funzione composta

→ → ⊆ Siano : : (A) e si f A g B f BIR, IR, consideri la funzione composta ◊ →:g f A IR.

∈ Se è derivabile in e è derivabile in f x A g0 ◊ = (x ) allora la funzione composta (g )y f f0 0 risulta derivabile in ex 00 0 0 0 ◊ · ·)(x ) = (y ) (x ) = (f (x )) (x ).D(g f g f g f0 0 0 0 0

Esempi

x√ 2 +4x (x) =(x) = , FF e 11+ e x