Calcolo differenziale

7. Calcolo differenziale

Studiamo l'intervallo nel calcolare_t→t0 (s(t + Δt) - s(t))/Δt

DEF: f: I → R con I ⊂ R intervallo aperto e x₀ ∈ I, chiamiamo rapporto incrementale la quantità (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

Diciamo che f è derivabile nel punto x₀ ∈ I se esiste finito lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/(x - x₀), e detto derivata di f in x₀.

Inoltre, se f è derivabile in ogni punto di I, diciamo che f è derivabile su I e la funzione f': I → R x → x'(x) = lim_y→x (f(x) - f(y))/(y - x) è detta (funzione) derivata prima di f

ES: La velocità di un punto materiale è la derivata prima della sua posizione intesa come funzione di una variabile temporale.

OSS: Geometricamente, nel piano cartesiano, il rapporto incrementale (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) ci dà un'anteprima la pendenza (il coefficiente angolare) delle rette secanti dei punti (x₀, f(x₀)) e (x, f(x)).

7. Calcolo differenziale

Scegliendo l'intervallo ande calcolare lim_{Δt → 0} s(t + Δt) - s(t) / Δt

DEF: f: I → I con I ⊆ ℝ intervallo aperto e x₀ ∈ I, chiamiamo rapporto incrementale la quantità (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

Diciamo che f è derivabile nel punto x₀ ∈ I se esiste finito lim_{x → x0} (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀), e detto derivata di f in x₀.

Inoltre, se f è derivabile in ogni punto di I diciamo che f è derivabile su I e la funzione f': I → ℝ f'(x) = lim_{y → x} (f(y) - f(x)) / (y - x) è detta (funzione) derivata prima di f

ES: La velocità di un punto materiale è la derivata prima della sua posizione intesa come funzione di una variabile temporale

OSS: Geometricamente, nel piano cartesiano, il rapporto incrementale (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) stia ad indicare la pendenza (il coefficiente angolare) delle rette secanti del punto (x₀, f(x₀)) e (x, f(x))

Calcolare il lim del rapporto incrementale quando questo assume "più vicini" a x₀

Per cui, intuitivamente, la derivata di f in x₀ f′ è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (x₀, f(x₀))

Più precisamente, la retta tangente al grafico di f nel punto (x₀, f(x₀)) ha equazione y = f(x₀) + f′(x₀) (x - x₀)

Scriviamo f′(x) = lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) secondo la notazione di Peano

Il fatto che lim_x→x0 f(x) - f(x₀) - f′(x₀) (x - x₀) = 0

Lo scriviamo lim_x→x0 (f(x) - f(x₀) - f′(x₀) (x - x₀))/(x - x₀) = 0

Cioè f(x) - f(x₀) = f′(x₀) (x - x₀) + o (x - x₀)

Si scrive f(x) = f(x₀) + f′(x₀) (x - x₀) + o (x - x₀)

Notazione: f′(x₀) = df/dx |_{x = x0} = d/dxﹽ_telere

Teorema - derivabilità implica continuità

Sia I ⊆ ℝ un intervallo aperto e f : I → ℝ derivabile in x₀ ∈ I. Allora f è continua in x₀

Dimostrazione: lim_x→x0 f(x) - f(x₀) = lim_x→x0 (f(x) - f(x₀) - f′(x₀) (x - x₀))/(x - x₀) (x - x₀) = 0

Dimostrazione: lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 f(x₀) + f′(x₀) (x - x₀) + o (x - x₀) = f(x₀)

OSS: “Derivabilità => continuità” ma l’inverso non è vero.

Dai seguenti esempi: {x → |x|} è continua in 0 ma non è derivabile in 0.

lim _x→0 |x|_-|0| = lim _x→0 |x|/x = lim _x→0 sign (x) che non esiste

OSS: In un cambio di variabile E=x-x₀ la definizione di f’(x₀) può essere data da: f’(x₀) = lim _E→0 f(x₀+E) - f(x₀)/E

Esempi di calcolo per funzioni elementari

(tutte le se