Calcolo differenziale

CALCOLO DIFFERENZIALE

la retta y = mx + q passante per i punti (x₀, f(x₀)) (x₁, f(x₁))

• Determinare m e q
  • f(x₀) = mx₀ + q
  • f(x₁) = mx₁ + q

sottraendo f(x₁) - f(x₀) = mx₁ - mx₀

m = f(x₁) - f(x₀) rapporto incrementale            x₁ - x₀

q = f(x₀) - f(x) - f(x₀) * x₀                x - x₀

Def. f : (a,b) → ℝ, x₀ ∈ (a,b), diciamo che f è derivabile se esiste limite del limite del rapporto incrementale per x → x₀

∃ limx → x₀ f(x) - f(x₀) < +∞   f'(x₀) = limx → x₀ f(x) - f(x₀)                               x - x₀                        x - x₀

f derivabile in (a,b) → intende che ∃ f'(x) ∀ x ∈ (a,b)

Prendendo h = x - x₀ limx → x₀ f(x) - f(x₀)    = limh → 0 f(x₀ + h) - f(x₀)          x - x₀                      h

f : (a,b) → ℝ derivabile     x ∈ (a,b) → f'(x) ∈ ℝ

f' : (a,b) → ℝ         x → f'(x)

f''(x) = limh → 0 f'(x + h) - f'(x)                      h

Calcolo Differenziale

la retta y = mx + q passante per i punti (x₁, f(x₁)) (x₀, f(x₀))

Determinare m e q

• f(x) = mx + q
• f(x₀) = mx₀ + q
• sottraendo f(x₀) - f(x) = mx - mx₀

m = ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} rapporto incrementale

q = f(x₀) - ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} x₀

Def.

f : (a,b) → R, x₀ ∈ (a,b), diciamo che f è derivabile se esiste limite

il limite del rapporto incrementale per x → x₀

∃ lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} < + ∞

f'(x₀) = lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0}

f derivabile in (a,b) significa che ∀ f'(x) ∀ x ∈ (a,b)

Passato da x→x₀ lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} = lim_h→0 ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/h

f: (a,b) → R derivabile x ∈ (a,b) → f'(x) ∈ R

f': (a,b) → R x → f'(x)

f''(x) = lim_h→0 ^{f'(x+h) - f'(x)}/h

Legame tra continuità e derivabilità

∃ lim_x→x₀ f(x) = f(x₀) ⟹ ∄ lim_x→x₀ f(x) - f(x₀) / x-x₀ +∞

Teorema: se f è derivabile in un punto x allora f è continua

dim.

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀) ⟹ lim_x→x₀ [f(x₀) - f(x₀)] = 0

⟹ lim_x→x₀ f(x) - f(x₀) / x-x₀ = 0 ⟹ f è continua

ex.

f(x) = |x|

continua lim_x→0 f(x)= lim_x→0 |x| = 0 = f(x₀)

derivata lim_h→0 f(x+h) - f(x) / h = lim_h→0 h/h = lim_h→0⁺ 1 / h_h→0⁻ -1

lim dx ≠ lim sx ⟹ lim quando non derivabile in 0

ex.

f(x) = ³√x continua in ℝ

lim_x→x₀ f(x) - f(x₀) / x-x₀ = lim_x→0 f(x) - f(x₀) / x-x₀ = lim_x→0 ³√x / x = lim_x→0 √1/x² = +∞ ⟹ f non derivabile in x₀

Studiamo rapporto incrementale

m = f(x) - f(x₀) / x-x₀ = 1/x² → +∞

In generale se f(x₀) = ±∞ (oppure -∞) il punto (x₀, f(x₀)) si chiama punto a tangente verticale

Def. (derivate destra e sinistra)

f: (a, b) → ℝ

η lim_x→x0⁺ (f(x₀) - f(x)) / (x₀ - x) = f'_dx(x₀) derivata dx

e lim_x→x0⁻ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = f'_sx(x₀) derivata sx

f è derivabile in x₀ se e solo se ∃ f'(x₀) e f'(x₀) = f'_dx(x₀) = f'_sx(x₀)

ex.

f(x) = √|x| x ∈ ℝ

f'(x₀) = lim_h→0⁺ f(x₀ + h) - f(x₀) / h = lim_h→0⁺ √|h| / h = lim_h→0⁺ |h| / h|h| = lim_h→0⁺ 1 / √|h| = +∞

f'(x₀) = lim_h→0⁻ √|-h| / h = lim_h→0⁻ √|h| / -h = lim_h→0⁻ 1 / √|h| = -∞

f non derivabile in 0

Se f'_dx(x₀) = +∞ e f'_sx(x₀) = -∞ o viceversa, allora il punto (x₀, f(x₀)) si dice cuspide

Se f è continua in x₀ e f'_dx(x₀) ≠ f'_sx(x₀), con al più una delle due derivate infinita

⇒ (x₀, f(x₀)) si dice punto angoloso

Derivate delle funzioni elementari

d/dx sinx = cosx

d/dx cosx = -sinx

d/dx e^x = e^x

d/dx a^x = a^x lna

d/dx ln x = 1/x

d/dx xⁿ = nx^n-1

Operazioni derivate

f, g derivabili in x₀, c costante reale

1. f+g è derivabile (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)
2. f·g è derivabile (f·g)'(x) = f'(x)·g(x) + g'(x)·f(x)
3. g(x)≠0 f(x)/g(x) è derivabile (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))²
4. (c + f)'(x) = f'(x)
5. (c·f)'(x) = c·f'(x)
6. g(x)≠0 (1/g)' = -g'(x)/(g(x))²

ex.

tan x = sin x/cos x

d/dx tan x = cos²x + sin²x/cos²x = 1/cos²x = 1 + tan² x

Derivata funzione composta

f derivabile in x₀

g derivabile in x₀ = f(x₀)

⇒ h(x) = g(f(x)) = (g' ∘ f)(x) è derivabile in x₀ e h'(x) = g'(f(x₀)) ∘ f'(x₀)

ex.

h(x) = (sinx)³

h'(x) = 5 sin⁴ x ♦ cosx

Derivata logaritmica

f(x) = lnx

f'(x) = ¹⁄_x

h(x) = ln (f(x))

f(x)>0

h'(x) = ¹⁄_f(x) f'(x)

Derivata funzione esponenziale

f, g derivabile in x, f > 0

h(x) = f(x)^g(x)

f(x)^g(x) = e^ln(f(x)g(x)) = e^g(x)lnf(x)

= e^{g(x)0lnf(x0) + g0 ♦ f⁄_f(x)}

ex.

f(x) = x^x = e^lnxx = e^xlnx

f'₁(x) = x^x ♦ (lnx + 1)

Derivata della funzione inversa

Teorema: 1) f:(a,b) → R continua e invertibile

2) f derivabile in x₀ ε (a,b)

3) f'(x)₀ ≠ 0

⇒ f'|^Imf:(a,b) è derivabile ∴ f(x) è (f^-1)'(x) = ¹⁄_f(x0) = ¹⁄_f'(f(x0))

ex.

f(x) = e^x

x = ln ⇒ e^x = y

f'₁(y) = lny

(f^-1)'(x) = ¹⁄_f(x): = ¹⁄_e^x = ¹⁄_e^y = ¹⁄_y

Funzioni trigonometriche inverse e loro derivate

1. f(x) = sinx: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow [-1, 1] \quad D[\text{arcsin}y] \quad \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{1}{\cosx} = \frac{1}{\sqrt{1-\sinx^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}
2. f(x) = cosx: [0, \pi] \rightarrow [-1, 1] \quad D[\text{arccos}y] \quad -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{1}{\sinx} = -\frac{1}{\sqrt{1-\cosx^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}
3. f(x) = tanx: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \quad D[\text{arctan}y] \quad \frac{1}{1+y^2} = \frac{1}{1+\tanx^2} = \frac{1}{1+y^2}

Teorema di Fermat

f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R} \quad x \in (a,b) \quad f \text{ derivabile in } x_0 \quad x \text{ estremo relativo}

\Rightarrow f'(x_0) = 0

dim.:

supponiamo x_0 \text{ massimo relativo cioè } \exists \delta > 0 \text{ t.c. } f(x) \le f(x_0) \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)

\Rightarrow f(x) - f(x_0) \le 0

f \text{ è per ipotesi derivabile}

\Rightarrow \exists \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} < 0

esistono e sono uguali: i limiti dx e sx del rapporto incrementale, perciò -\Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = 0 = f'(x_0)

Def.: i punti in cui si annulla la derivata prima di una funzione sono detti punti critici o stazionari

Il teorema di Fermat afferma che se x_0 \text{ estremo relativo } \Rightarrow \; x_0 \text{ stazionario }

esistono punti critici che non sono né massimi né minimi

Teorema di Rolle

f: [a,b] → R f.c.

• f continua in [a,b]
• f derivabile in (a,b)
• f(a) = f(b)

⇒ ∃ x₀ ∈ (a,b) : f'(x₀) = 0

dim.

Weierstrass ⇒ ∃ x₁, x₂ ∈ [a,b] cioè f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) ∀ x ∈ [a,b]

Se x₁ ∈ x₂ ∈ (a,b), la tesi segue da teorema di Fermat

Esclusi il caso x₁ = a e x₂ = b (o viceversa)

Per ipotesi f(a) = f(b) ⇒ f(x) = f(x₂) ⇒ f è costante ⇒ f' = 0

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

f: [a,b] -> R t.c.

• f continua in [a,b]
• f derivabile in (a,b)

coeff. ang. retta tangente x₀coeff. ang. retta secante per a e b

Osservazione:

La tesi del teorema di Lagrange dice:^{f(b) - f(a)}/_b-a = f'(x₀)

cioè f(b) - f(a) = f'(x₀)(b-a)

l'incremento di f nell'intervallo da a a b lo posso esprimere come l'espressione b-a per uno scalare (f'(x₀))

dim: consideriamo la funzione g(x) = f(x) - retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b))

g(x) = f(x) - [m x + q]

g(x) = f(x) - [f(a) + ^{f(b) - f(a)}/_b-a (x-a)]

g(a) = f(a) - f(a) = 0g(b) = f(b) - f(b) = 0

• g continua in [a,b]
• g derivabile in (a,b)
• g(a) = g(b)

Teorema di Rolle => ∃ x₀ ∈ (a,b) : g'(x₀) = 0

g(x) = f(x) - [m x + q]

g'(x) = f'(x) - m = f'(x) - ^{f(b) - f(a)}/_b-a

g'(x₀) = 0 ⇔ f'(x₀) = ^{f(b) - f(a)}/_b-a

Criterio di monotonia

f funzione continua in [a; b]derivabile in (a, b)

allora

1. f'(x) >= 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇔ f è crescente in (a, b)
2. f'(x) <= 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇔ f è decrescente in (a, b)

dim.

1. "⇒": supponiamo f'(x) >= 0 ∀ x vogliamo dimostrare che dati x₁, x₂ ∈ [a, b] con a <= x₁ <= x₂ <= b ⇒ f(x₁) <= f(x₂) Teorema di Lagrange in (x₁, x₂) ⇒ ∃ x₀ ∈ (x₁, x₂) t.c. f'(x₀) = ^{f(x₂) - f(x₁)}/_{x2 - x1} f(x₂) - f(x₁) = ^f'(x₀) (x₂ - x₁)_x0 ⇒ f(x₂) >= f(x₁) (f crescente)
2. "⇐": supponiamo che f sia crescente in [a, b] ⇒ f(x₀ + h) >= f(x₀) h>0 f(x₀ + h) <= f(x₀) h<0 ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h >= 0 ∀ h ⇒ lim_h→0 ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h = f'(x) >= 0

es.

f(x) = x³ f'(x) = 3x² f'(0) = 0 x=0 punto critico f'(x) = 3x² > 0 ∀ x ≠ 0 f(x) sempre crescente ⇒ x = 0 né max né min

f(x) = x² f'(x) = 2x f'(0) = 0 f'(x) > 0 x > 0 f'(x) < 0 x < 0 x = 0 punto di minimo

Concavità e Convessità

def. f: (a, b) → R derivabile

Diciamo che f è convessa in (a, b) se il suo grafico giace al di sopra di qualsiasi retta tangente al grafico stesso

f(x) ≥ mx + q

Calcoliamo la retta tangente al grafico di f nel punto (x_o, f(x_o))

y = mx + q   m = f'(x_o)

q = f(x_o) - f'(x_o)x_o   (passaggi della retta per x_o)

y = f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o)

f(x) ≥ f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o)   ∀ x ∈ (a, b)   (convessità)

Diciamo che f è concava in (a, b) se il suo grafico giace al di sotto di qualsiasi retta tangente al grafico stesso

f concava ↔ f(x) ≤ f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o)   ∀ x ∈ (a, b)

f concava in (a, b) ↔ f convessa in (a, b)

Criterio di convessità

f: [a,b] → R

f derivabile in (a,b)

f’ derivabile in (a,b)

• a) f(x) è convessa in [a,b]
• b) f’(x) è crescente in [a,b]
• c) f’’(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a,b)

dim

b) ⇔ c) segue dal criterio di monotonia applicato alla funzione f’

a) ⇔ b)

⇒ b’ tra f convessa in [a,b]

siano x₁, x₂ ∈ [a,b], x₁ < x₂

⇒ f(x₁) ≥ f(x)

Per la convessità di f, f(x₂) ≥ f(x₁)+f’(x₁)(x-x₁) ∀ x⇒ f(x₂) ≥ f(x₃)+f’(x₂)(x₂-x₂) ∀ x

Scegliamo in x = x₂ → f(x₂ ) ≥ f’(x₁)(x₂-x₁)

x = x ₄ → f(x ₄) ≥ f(x₃)+f’(x₂)(x₄-x₂)

Sommiamo membro membro

f(x₂)+f(x₃) ≥ f(x₁)+f(x₂) + f’(x₁)(x₂-x₂)+f’(x₂)(x₁-x₂)

0 ≥ f’(x₁)(x₂-x₁)+f(x₂)(x₁-x₂)-f’(x₂)(x₂-x₁)

⇒ f’’(x) ≥ 0

⇒ f’ crescente

"f" sia f^' crescente

⇔ f convessa

Prendiamo x ∈ ]α, β[ x ≠ x₀ x > x₀

vogliamo dimostrare

f(x) > tangente al grafico in (x₀, f(x₀))

f(x) > f(x₀) + f^'(x₀)(x - x₀)

Dal teorema di Lagrange in (x₀, x) ∃ ξ ∈ (x₀, x) t.c.   f^'(ξ) = ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0}

f(x) - f(x₀) = f^'(ξ)(x - x₀) per ipotesi f^' è crescente

⇒ f^'(ξ) ≥ f^'(x₀)

quindi f(x) - f(x₀) = f^'(ξ)(x - x₀) ≥ f^'(x₀) • (x - x₀)

f(x) ≥ f(x₀) + f^'(x₀)(x - x₀) ⇒ f è convessa

f è convessa ⇔ f^' è crescente o f^" ≥ 0

f₁ : (−1, 1) → ↠ x → |x|

Non possiamo affermare con la nostra definizione che la funzione sia convessa poichè non è derivabile in 0.

Def.: f si dice convessa per corde se   ∀ x₀, x₁ ∈ [α, β]   il grafico di f sta sotto il segmento s(x)compreso tra (x₀, f(x₀)) e   (x₁, f(x₁))  f(x) ≤ s(x)   ∀ x ∈ [x₀, x₁]

f si dice concava per corde se       ∀ x₀, x₁ ∈ [a, b]       il grafico di f è sopra il segmento x(c)

m = ^{f(x₁) - f(x₂)}/_{x1 - x0}

q = f(x₀) - ^{f(x₁) - f(x₂)} ⋅ x₀     x(c) = f(x₀) + ^{f(x₁) - f(x₂)} ⋅ x₀     f(x)

Punto di Flesso

Def:

f: (a, b) → R   derivabile   x₀ ∈ (a, b)

Se f è convessa in un intorno sx di x₀ e concava in un intorno dx di x₀ (o viceversa)

allora x₀ è detto punto di flesso

Si dimostra che se x₀ è un flesso   ⇒   f''(x₀) = 0

Asintoti

lim_{x → x0} f(x) = ∞     la retta   x = x₀   è un asintoto verticale per f

lim_{x → ∞} f(x) = l     la retta   y = l   è un asintoto orizzontale per f

lim_{x → ∞} f(x) = ∞

lim_{x → ± ∞} ^{[f(x) - (mx + q)]}/_x = 0

m = lim_{x → ∞} ^f(x)/_x     f(x) è un asintoto di ordine 1

g = lim_{x → ± ∞} [f(x) - mx]

Asintoto obliquo

1. lim_{x → ± ∞} f(x) = ∞
2. lim_{x → ∞} ^f(x)/_x = m
3. lim_{x → ± ∞} ^{[f(x) - mx] - g} = 0

⇒ la retta per   y = mx + g   è un asintoto obliquo per f