Calcolo delle derivate

Luca Lussardi, appunti di Analisi I

Calcolo delle derivate

Nonostante l’organizzazione attuale di un corso di Analisi Matematica in una variabile reale preveda la teoria dei limiti e della continuità come primo importante capitolo, storicamente il primo concetto di analisi a farsi strada è stato il concetto di derivata o meglio di differenziale.

L’idea portante è quella di esprimere in modo formale e preciso “quanto varia” una funzione, qual è il suo tasso di variazione: ad esempio se si considera la funzione che fornisce lo spazio percorso da un punto mobile in funzione del tempo, la derivata prima della funzione data sarà la velocità del punto: quanto rapidamente varia lo spazio in funzione del tempo.

La definizione

Sia f : (a, b) → R una funzione, e sia x₀ ∈ (a, b). Si dice che f è derivabile in x₀ se esiste ed è finito

lim_x→x0 [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀);

in tal caso tale limite si denota con f′(x₀) e si dice derivata prima di f in x₀. Un fatto importante da osservare è che la derivabilità di una funzione implica la continuità della funzione stessa: dunque la derivabilità è una condizione di regolarità maggiore rispetto alla sola continuità.

La derivata prima di una data funzione ha un preciso significato geometrico: se f : E → R è derivabile in un punto interno x₀ ∈ E allora f′(x₀) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f nel punto (x₀, f(x₀)): tale retta ha quindi equazione cartesiana y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).

Nella seguente figura viene rappresentata la funzione y = f(x) = x³ − x + 1 e la retta y = 2x − 1, ottenute applicando la definizione data di retta tangente nel punto (1, f(1)).

2,5

5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2,5

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