Integrali: Calcola il volume di [math] {V}={\left\lbrace{\left({x},{y},{z}\right)}\in\mathbb{R}^{3}:{x}^{2}+{y}^{2}\leq{1},{0}\leq{z}\leq{x}^{2}+{y}^{2}\right\rbrace} [/math]

Revisionato il 20/10/2026

di lussardi

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Calcolare il volume di V = {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x² + y²}

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Il volume richiesto risulta essere

V = ∬_D (x² + y²) dx dy,

dove D = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 1}. Passando a coordinate polari piane D viene trasformato nell’insieme S = {(ρ, θ) ∈ [0, +∞) × [0, 2π) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}. Dunque si ha

V = ∬_D (x² + y²) dx dy = ∬_S ρ³ dρ dθ = ∫₀^2π(∫₀¹ ρ³ dρ)dθ =

= 2π ∫₀¹ ρ³ dρ = π/2.

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Sintesi

[math] {V}={\left\lbrace{\left({x},{y},{z}\right)}\in\mathbb{R}^{3}:{x}^{2}+{y}^{2}\leq{1},{0}\leq{z}\leq{x}^{2}+{y}^{2}\right\rbrace} [/math]

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Calcolare il volume di V = {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x² + y²}