Bella dentro

Bella dentro

di Enrico Colognesi (Gennaio 2011)

Chi è la più bella ?

E chi può dirlo? Miss Italia del ....? L’attrice che, negli ultimi tempi, è contesa da numerose

trasmissioni televisive? La ragazza conosciuta la scorsa estate? O forse proprio quella che ti ha colpito ... al

punto che hai deciso di dividere la tua vita con lei? O quella che .. ?

Ci sono anche forme di bellezza ben più astratte ...

C’è più arte pittorica in ‘Monna Lisa’ o in ‘Guernica’ ? C’è più stile poetico in Ovidio o in Dante? Più

ricchezza nell’’Offerta musicale’ di Bach o nei ‘Preludi’ di Debussy? Impossibile stabilirlo ...

Unica cosa che si può dire con certezza è che la bellezza esiste.

Anche il matematico si lascia fortemente guidare, nella sua attività, da criteri di bellezza. Una teoria

è talvolta preferita ad un’altra per motivi di ‘eleganza’, una formula giudicata ‘bella’ per le sue doti di

concisione o per la sua capacità di creare dei ponti tra oggetti o argomenti apparentemente lontani.

Chi potrebbe negare la bellezza e l’eleganza della Teoria di Galois sulle equazioni, o più

+ 1 = 0

݁

semplicemente non assegnare la palma della più bella alla celebre identità di Eulero

௜గ

ߨ),

che intreccia i 5 numeri più celebri (0, 1, i, e, l’operazione più elementare e il segno di eguaglianza?

In molti casi, però, la bellezza non si manifesta in modo diretto ed immediato, ma solo ad una

conoscenza più approfondita. Succede spesso, lo sappiamo, con le persone. Allo stesso modo, l’arte

profonda presente nell’’Offerta musicale’ di Bach si manifesta solo nel tempo e con ripetuti ascolti.

Sono le cosiddette ...

...belle dentro.

Le ‘belle dentro’ esistono anche in matematica e di una di queste vorrei qui parlare. La presento:

݁ − 1

ሺேାଵሻ௭

ሺݖሻ

ܲ = ݁ − 1

ே ௭

Tecnicamente è una ‘famiglia di funzioni analitiche’. N è un numero naturale, z una cosiddetta

variabile complessa, ossia una variabile che assume come valori i numeri complessi. Come tutte le funzioni

analitiche, anche i suoi valori sono complessi: una sua rappresentazione visiva completa potrebbe essere

fatta solo in uno spazio a 4 dimensioni. Per questo motivo non è possibile, per la nostra mente, raffigurarsi

il ‘grafico’ complessivo di tale funzione, ma solo di alcune parti.

Perché ‘bella dentro’ ?

Perché, analizzata dalla giusta prospettiva, rivela informazioni inattese. E la prospettiva giusta è

quella dello sviluppo in serie.

Tutte le funzioni analitiche possono essere sviluppate in serie (in un adeguato cerchio di

ஶ

convergenza): ݂ሺݖሻ = ෍ ܽ ݖ ݖ ∈ ℂ ,ℎ ∈ ℕ

௛

௛

௛ୀ଴

ܽ

௛

I coefficienti dello sviluppo in serie sono talvolta molto interessanti. Si pensi al caso della funzione

ஶ ܼ

esponenziale ௛

݁ =෍ ݖ ∈ ℂ ,ℎ ∈ ℕ

௭ ℎ!

௛ୀ଴ ஶ ݖ

ݖ

in cui i coefficienti sono i reciproci dei numeri fattoriali. Oppure alla

௞

= ෍ ܤ

− 1 ݇!

݁ ௞

௭ ௞ୀ଴

che introduce, come coefficienti, i Numeri di Bernoulli.

Nel nostro caso, come scopriremo, i coefficienti dello sviluppo in serie sono di gran lunga più

interessanti!!!

E come nella realtà, in cui succede di scoprire per