Appunti esame statistica per le scienze sperimentali

Che cos’è la statistica?

In tutte le discipline scientifiche che studiano gli organismi viventi, molto raramente i dati ottenuti attraverso un esperimento oppure raccolti in natura ci permettono di giungere ad una conclusione con una certezza del 100%. La statistica ci aiuta in maniera oggettiva, numericamente, ad analizzare le diverse ipotesi.

La statistica è l’analisi quantitativa dei fenomeni collettivi che hanno attitudine a variare, allo scopo di descriverli e di individuare le leggi o i modelli che permettono di spiegarli e di prevederli. La statistica è uno strumento essenziale per le rilevazioni scientifiche. La maggior parte degli studi di biologia comprende cinque tappe fondamentali, ognuna delle quali richiede l’intervento della statistica:

• Tappa 1: definizione del piano sperimentale. Si definiscono con chiarezza la problematica e i metodi necessari per affrontarla;
• Tappa 2: raccolta dei dati. Si raccolgono informazioni relative al mondo naturale attraverso esperimenti e studi sul campo;
• Tappa 3: organizzazione e visualizzazione dei dati. Si realizzano tabelle, grafici e altre rappresentazioni utili per poter analizzare i dati raccolti;
• Tappa 4: riassunto dei dati. Si riassumono i dati con alcuni calcoli chiave di statistica;
• Tappa 5: statistica inferenziale. Si usano metodi di statistica per trarre conclusioni generali dai dati su come funziona il mondo naturale.

Il gruppo preso in esame in una indagine statistica è definito con il termine “popolazione”. Il singolo elemento della popolazione è detto “individuo” o “unità statistica”. Un “campione” è invece un sottoinsieme della popolazione. Esistono due branche della statistica: la statistica descrittiva e la statistica induttiva o inferenziale.

Statistica descrittiva

Quando si raccolgono dei dati su una popolazione o su un campione, i valori ottenuti si presentano come un insieme di dati disordinati. La statistica descrittiva offre dei metodi per organizzare e sintetizzare i dati in modo da poter evidenziare le loro caratteristiche importanti e individuare le informazioni da essi fornite. La statistica descrittiva è quindi quella branca della statistica che ha il fine di descrivere un fenomeno.

I dati sono organizzati in variabili. Le variabili sono espresse con diverse modalità. Le variabili possono essere quantitative, se sono espresse da numeri e vengono anche dette “valori”, e qualitative, se sono espresse in forma verbale. Le variabili quantitative si possono classificare in: discrete e ordinate. Una variabile quantitativa discreta è il risultato di una enumerazione, è espressa da numeri naturali e procede per salti d’unità. Una variabile quantitativa continua è il risultato di una misurazione, è espressa da numeri reali e varia per infinitesimi. Le variabili qualitative si possono classificare in: nominali e ordinali. Una variabile qualitativa nominale, detta anche “categorica”, è il risultato di una valutazione. Una variabile qualitativa ordinale è il risultato di una valutazione tradotta in graduatoria.

Distribuzione di frequenza

La distribuzione di frequenza di una variabile è una rappresentazione nella quale ad ogni modalità della variabile viene associata la frequenza con la quale essa si presenta nei dati. In altre parole, la distribuzione di frequenza esplicita quante volte una determinata modalità si presenta nel collettivo oggetto di studio. La tabella può essere fatta sia per variabili quantitative sia per variabili qualitative. La tabella può essere univariata, se prende in considerazione una sola variabile, o bivariata, se prende in considerazione 2 variabili. Nel caso della distribuzione di frequenza univariata si costruirà una tabella formata da 2 colonne. Nel caso della distribuzione di frequenza bivariata si costruirà una tabella a doppia entrata detta anche tabella di contingenza. La tabella a doppia entrata è una tabella formata da righe e colonne. Facendo una distribuzione di frequenza si ricava quindi la frequenza assoluta ovvero il numero di volte in cui una modalità compare in un collettivo, insieme di dati. Sulla base della distribuzione di frequenza possiamo anche ricavare la frequenza relativa e la frequenza cumulata. Per frequenza relativa si intende il rapporto tra la frequenza assoluta di una modalità e il numero totale del collettivo. Se moltiplichiamo per 100 la frequenza relativa otteniamo la frequenza percentuale. Per calcolare una frequenza cumulata si sommano progressivamente tutte le frequenze assolute o percentuali. Non ha alcun significato calcolare le frequenze cumulate se il fenomeno statistico non è di tipo ordinabile. Nel caso di una variabile continua non è possibile far corrispondere ad ogni modalità la rispettiva frequenza. Per fornire una rappresentazione tabellare di una variabile continua si ricorre quindi ad una suddivisione in classi. Si distinguono quindi tanti intervalli di classe ciascuno formato da un limite inferiore e da un limite superiore. Le classi sono omogenee se hanno la stessa ampiezza mentre sono disomogenee se hanno ampiezze diverse. L’ampiezza si calcola facendo la differenza tra i due estremi della classe. Data la suddivisione in classi, si definisce la densità di frequenza come il rapporto tra la frequenza di una classe e la rispettiva ampiezza. La densità di frequenza indica quanto densamente è popolata una classe.

Grafici

I dati raccolti in tabelle possono essere rappresentati anche attraverso grafici che offrono il vantaggio di una descrizione del fenomeno in forma visiva.

• Nel caso di variabili qualitative nominali si utilizza il grafico a torta o areogramma. L’areogramma è un tipo di rappresentazione grafica circolare in cui le frequenze percentuali di un’indagine statistica vengono tradotte in diverse ampiezze proporzionali alle frequenze stesse. Questo grafico non possiede senso di lettura.
• Nel caso di una variabile qualitativa ordinale si ha senso di lettura quindi non ha senso utilizzare un grafico a torta. Si usa il grafico a barre. L’asse verticale è un asse quantitativo mentre l’asse orizzontale è un asse qualitativo. Le barre sono sconnesse tra loro, non posso calcolare la differenza tra “buono” e “pessimo”, so solo che “buono” è meglio di “pessimo”.
• Nel caso di variabili quantitative discrete si utilizza un grafico a bastoncini. Questo grafico presenta dei segmenti ovvero delle barre senza area. Sia l’asse verticale sia l’asse orizzontale sono quantitativi. Il grafico a bastoncini evidenzia con la lunghezza del segmento le frequenze delle modalità della variabile. Questo grafico possiede senso di lettura.
• Nel caso di variabili quantitative continue si utilizza l’istogramma. L’istogramma è un grafico costituito da una serie di barre rettangolari contigue ognuna in rappresentanza di una classe e con area proporzionata alla rispettiva frequenza. Sull’asse orizzontale troviamo le ampiezze delle classi; sull’asse verticale troviamo le frequenze. Da un grafico di questo tipo è possibile ottenere un poligono di frequenza. Per costruire un poligono di frequenza si prende un punto a metà di ciascuna barra e si procede collegando tutti i punti considerati. Il poligono di frequenza permette di rappresentare più variabili insieme, variabili quantitative continue e variabili qualitative nominali. Le variabili quantitative continue possono essere rappresentate anche mediante un grafico di dispersione. Il grafico di dispersione è formato da una serie di punti e mette in relazione due variabili quantitative. Tutti i punti possono essere interpolati in una retta.

Misure di sintesi numerica

I dati vengono sintetizzati mediante misure di sintesi numerica. Le misure di sintesi numerica sono di 2 tipi: misure di centralità, evidenziano il valore caratteristico di una distribuzione, e misure di variabilità, evidenziano il grado di dispersione di una distribuzione.

Misure di centralità

Moda → la moda è il valore più frequente di una distribuzione, o meglio, la modalità più ricorrente della variabile, cioè quelle a cui corrisponde la frequenza più elevata. Non sono necessari calcoli e si applica a tutti i tipi di variabili.

Media aritmetica → la media aritmetica è la misura di centralità meglio intesa. Si applica alle variabili quantitative ed è influenzata da tutti i valori. La media è la somma di tutti i valori numerici della variabile rapportata al numero totale di osservazioni. La media aritmetica può essere calcolata anche se la distribuzione è suddivisa in classi: per prima cosa si individua il valore centrale di ogni classe. Se per esempio ho una classe che comprende tutti gli individui che hanno età compressa tra 20 e 30 anni, il valore centrale della classe sarà (20 + 30) / 2 ovvero 25. Il valore così ottenuto viene moltiplicato per la frequenza assoluta relativa a ogni classe. Tutti i risultati vengono sommati tra loro e divisi per il numero totale di individui.

Mediana → è il valore che occupa la posizione centrale di una distribuzione ordinata di dati in modo tale che il numero di osservazioni con un valore inferiore a quello della mediana sia uguale al numero di osservazioni con un valore superiore a quello della mediana. Prima di calcolare la mediana occorre quindi ordinare i dati. Se i dati sono ordinati in senso crescente, o decrescente, calcolare la mediana è molto facile. Infatti, con un numero dispari di osservazioni la mediana è il valore centrale; con un numero pari di osservazioni la mediana è la media dei due valori centrali. Più semplicemente si guarda la frequenza cumulata relativa: si considera la prima frequenza relativa cumulata che supera il 50% e la si associa alla rispettiva modalità della variabile. La mediana si può applicare alle variabili ordinali, discrete e continue. Non è influenzata dai valori estremi. Non conta il valore della variabile ma il rango.

Quale misura di centralità è più opportuna tra la media e la mediana? Se la distribuzione è simmetrica applico la media; se la distribuzione è asimmetrica applico la mediana. Si fa quindi un istogramma e si guarda se la distribuzione è simmetrica o asimmetrica. Quando media, moda e mediana coincidono in un solo termine la variabile si distribuisce in maniera perfettamente simmetrica rispetto a quel termine.

Quantili → i quantili sono una famiglia di misure, a cui appartiene anche la mediana, che si distinguono a seconda del numero di parti uguali in cui suddividono una distribuzione. La mediana è quel quantile che assorbe una quota parte della distribuzione pari al 50%. Se la distribuzione è divisa in 4 parti si parla di quartili; se la distribuzione è divisa in 10 parti si parla di decili; se la distribuzione è divisa in 100 parti si parla di percentili.

• Il boxplot o diagramma a scatola e baffi è un grafico che si utilizza per variabili quantitative ed è ottenuto a partire da 5 valori chiave: valore minimo, primo quartile, mediana, terzo quartile e valore massimo.

Misure di variabilità

Devianza → la devianza è la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica, valore della variabile meno la media aritmetica tutto al quadrato. 2∑( ̅)ⅇ = −=1

Varianza → la varianza è la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica divisi per la numerosità. 2 2∑ ( ) ∑ ( ) −̅ −̅ =1 =1 = = −1

Scarto quadratico medio e deviazione standard → un modo per esprimere la variazione dei dati è quello di utilizzare la media come punto di riferimento di ciascun valore, e di calcolare lo scarto o deviazione di ciascun dato dalla media. Lo scarto quadratico medio si utilizza in relazione a una popolazione mentre la deviazione standard si utilizza in relazione a un campione. Si calcola come la radice quadrata della varianza. La somma di tutti gli scarti positivi e tutti gli scarti negativi è zero. 2 2∑ ( ) ∑ ( −̅) −̅ =√ √ =1 =1 = −1

Intervallo interquartile → è la differenza tra il terzo e il primo quartile della distribuzione. È l’intervallo in cui è compreso il 50% delle osservazioni.

Campo di variazione, range → è la differenza fra il valore massimo e quello minimo della variabile. Evidenzia quanto lontani risultano fra loro i due estremi della distribuzione.

Coefficiente di variazione, CV → per confrontare la variabilità in due distribuzioni diverse si utilizza il coefficiente di variazione, che si calcola come il rapporto tra deviazione standard e la media aritmetica.

Le misure di variabilità assumono sempre il valore zero se i valori della variabile sono fra loro uguali; assumono valori crescenti positivi per livelli progressivamente crescenti di variabilità: quanto più i termini della distribuzione sono fra loro diversi, tanto più l’indice assume valori elevati; sono espressi nella stessa unità di misura della variabile.

Probabilità

La probabilità misura la realizzabilità di un evento aleatorio ossia il grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova. Un evento si dice aleatorio quando non si conosce a priori il suo esito ovvero non si sa se si verificherà oppure no, es. il lancio di un dado. Un evento può essere elementare o non elementare. Un evento elementare è un evento che non può essere scomposto; un evento non elementare è un evento scomponibile in altri eventi elementari. Esistono diversi modi per assegnare la probabilità a un dato evento. Secondo l’approccio soggettivista la probabilità è il risultato della valutazione di un soggetto circa la plausibilità di un evento. La plausibilità dell’evento dipende dal grado di conoscenza e di esperienza dell’individuo. Secondo l’approccio classico la probabilità