Appunti Statistica

elementi base di statistica

Definizioni

Collettivo (o popolazione): insieme delle unità di osservazione

Unità statistica: elementi singoli individuati e presi in considerazione

Modalità: modi in cui il carattere si esprime (es. maschi - femmine)

Frequenza: quantità di una modalità

Distribuzione di frequenza: insieme delle modalità e delle sue frequenze associate

ex. Collettivo: famiglie italiane (campione)Unità statistiche: componenti di ogni singola famiglia italiana

Modalità:

1. x_i
2. n_i
3. f_i

• 1
• 2
• 3
• 4

• 2/7 = 0,143
• 2/7 = 0,286
• 1/7 = 0,143
• 2/7 = 0,143
• 3/7 = 0,429

Rappresentazioni grafiche dei caratteri

Qualitativi

• Diagramma a tortaα_i = f_i.360
• Diagramma a barre

elementi base di statistica

DEFINIZIONI

COLLETTIVO: insieme delle unità di osservazione

UNITÀ STATISTICA: elementi singoli individuati e presi in considerazione

CAMPIONE: gruppi ristretti che rappresentano il totale

CARATTERI: ovvero delle caratteristiche osservate (ex. genere)

MODALITÀ: modi in cui il carattere si esprime (ex. maschi-femmine)

FREQUENZA: quantità di una modalità

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA: insieme delle modalità e delle sue frequenze associate

ex.

• COLETTIVO: famiglie italiane
• UNITÀ STATISTICHE: componenti di ogni singola famiglia italiana

• modalità
• distribuzione frequenze assolute
• distribuzione frequenze relative

n° unità statistiche osservate

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DEI CARATTERI

QUALITATIVI

• DIAGRAMMA A TORTA
• DIAGRAMMA A BARRE

QUANTITATIVI DISCRETI → DIAGRAMMA A SEGMENTI O AD ASTE

QUANTITATIVI CONTINUI → ISTOGRAMMA

MISURE DI POSIZIONE CENTRALE

• MODA: modalità più frequente → caratteri sconnessi
• MEDIA
  • ARITMETICA: _a = ¹/_N ∑ _iX_i
  • PONDERATA: _p = ¹/_N ∑ _iX_i ・ n_i
• PROPRIETÀ
  • CONDIZIONE DI CAUCHY (il massimo si trova all'interno della variabile)
    • X_max = _x = X_min
  • SOMMA DEGLI SCARTI (la somma degli scarti di sinistra e di destra è nulla)
    • ∑ (X_i - _x) = 0
    • Prima proprietà della media
  • PUNTO DI MINIMO (nella funzione f(a)=1/n ∑ (X_i - a)² ha minimo in a = _x)
    • Seconda proprietà della media
  • TRASFORMAZIONE LINEARE (la media della trasformazione è uguale alla media dei dati)
    • Y_i = a+bX_i ⇒ _y = a+b_a
    • Solo con caratteri ordinalabili
• MEDIANA: modalità al centro o media tra i due valori mediani
• QUANTILI: divisioni in più di due parti
  • 4 parti (QUARTILI)
    • 1° quartile (0,25)
    • 2° quartile (0,50)
    • 3° quartile (0,75)
  • 5 parti (QUINTILI)
  • 10 parti (DECILI)

LA VARIABILITÀ

attitudine di un fenomeno ad assumere valori diversi ≥ 0

• ASSOLUTA
  1. BASTA SULLE DIFFERENZE
     • CAMPO DI ESCURSIONE
       • Xmax - Xmin
     • SCARTO INTERQUARTILE
       • S_iq = Q₃ - Q₁
     • DIFFERENZE MEDIE
       • Tavola con valori
       • Δ semplice (considera tutti i dati una sola volta)
         • Δ_s = ΣΣ(X_i - X_j) / n(n-1)
       • Δ ripetizioni (considera tutti i dati anche con ripetizioni)
         • Δ_r = ΣΣ(X_i - X_j) / n²
  2. BASTA SUGLI SCARTI
     • SCARTO SEMPLICE MEDIO
       • media o mediana
       • S_sm = Σ(X_i - µ) / n
     • VARIANZA (o degli scarti²)
       • σ² = (Σ(X_i - µ)² / n = ΣX² / n - µ²
     • SCARTO QUADRATICO MEDIO
       • σ = √σ²
  3. RELATIVA
     • range / µ
       • CV (%) (coefficiente di variazione)
         • CV = σ / µ

I RAPPORTI STATISTICI

Confronto di due grandezze legate da una relazione logica (intensità)

• COMPOSIZIONE
  • parte / totale
    • ex grado di invecchiamento (I_a)
    • P_{65 +} / P_tot
• COESISTENZA
  • parte / parte
    • ex indice di dipendenza (I_d)
    • inattivi / attivi
    • P_0-14 + P_{65 +} / P_15-64
• DERIVAZIONE
  • variazione fenomeno / fenomeno totale
    • ex tasso di natalità (n_t)
    • nati vivi / popolazione media

I NUMERI INDICE

rapporti statistici che mettono in relazione le intensità di un fenomeno

a base fissa(q_b sempre uguale)I_t = ^q_t⁄_qb &...;100

a base mobile(q_b = q_t-1)I_t+1 = ^q_t⁄_qt-1 &...;100

è possibile ridurre le perturbazioni attraverso le PEREQUAZIONI (MECCANICHE (medie mobili) ANALITICHE)

permettono la verifica dei dati e la ricerca e correzione di eventuali errori all’interno delle SERIE

successioni di dati ordinate secondo modalità qualitative

• INDIVIDUALI
• STORICI (su base cronologica)
  • TREND (T) regolari (crescita, costanza, discendenza)
  • STAGIONALITÀ (CS) ripetizione (con cadenza stagionale)
  • CICLO (C) oscillazioni ampie in un periodo pluriennale
  • OSCILLAZIONE ACCIDENTALE (A) oscillazioni residuali
  • MOVIMENTI OCCASIONALI (O) dovuti ad eventi eccezionali
• TERRITORIALI (diversi per territorio)

PEREQUAZIONI LINEARI

y_i = a + bx

per trovare la retta si utilizza il METODO DEI MINIMI QUADRATI

b = ^Σxy⁄_Σx² a = ȳ - b&...;̄

• x_i variabile osservata in corrispondenza di x_i (x̄, ȳ)
• y_i variabile prevista in corrispondenza di x_i (ŷ)
• b = pendenza
  • positiva (b > 0)
  • negativa (b < 0)
  • nulla (b = 0)

Variabili interdipendenti

1. tra variabili quantitative (CORRELAZIONE)
   • si utilizza il COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

r = ^δ_xy⁄_δxδy

δ_xy = covarianza δ_xy = Σ(x_i-X)_i(y_i-Y)_i/n

essere legame lineare diretto (vanno nella stessa direzione)

forte ≥ |0 |

debole ≈ |1|

incorrelazione

tra caratteri qualitativi (CONTINENZA)

tabella di contingenza

frequenze marginali

i = riga j = colonna

frequenza assoluta di (x_i; y_j) = n_ij

frequenza relativa di (x_i; y_j) = n_ij ƒ_ij

n_ij = ^{n_i. x n_.j}⁄_n. (frequenze teoriche)

misura i dati in caso le variabili fossero indipendenti tra loro

CHI QUADRATO EMPIRICO misura la differenza tra i dati empirici e quelli teorici

indipendenza ≠0

delle dimensioni della tabella e dall'intensità della relazione

ϕ² = χ²/n

Indice quadratico medio di contingenza

I_C = √^ϕ²⁄_χ²+n

Coefficiente di contingenza

C = ^2I_C⁄_{√n - 1⁄√m}

ANALISI DELLE CONTINGENZE

se n_ij >n_ij c'è attrazione

se n_ij <n_ij c'è repulsione

viene definita attraverso diversi approcci

V_d di Cramer

V = ^χ²⁄_{n x min{(k - 1)(j - 1)}}

^χ²⁄_{n x min{(k - 1)(j - 1)}}

connessione assente

connessione massima

CLASSICO

rapporto tra casi favorevoli e casi possibili

FREQUENTISTA

umita cui tende la frequenza al crescere del numero di prove con fˊ esiti favorevoli e N prove

Un esperimento è casuale quando pur essere ripetuto piˊ volte alle stesse condizioni del quale è possibile conoscere prima i possibili esiti; ma non quale si verificherà.

Ω = insieme dei possibili esiti

EVENTI ELEMENTARI = singoli possibili esiti

EVENTO = qualsiasi sottoinsieme di Ω, che sia proprio o improprio

COMPLEMENTARE (E^c)

non si verifica E

P(E^c) = 1 - P(E)

INTERSEZIONE (E₁∩E₂)

solo comuni

UNIONE (E₁∪E₂)

comuni e non

P = P(A) + P(B) - P(A∩B)

INCOMPATIBILITÀ

(E₁∩E₂) = ∅

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

probabilità che si verifichi l’evento A, dato che si è verificato B

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

P(A∪B) = P(A)∙P(B) - P(B|A)∙P(A)

• P(A|B) = P(B|A)
• P(B|A) = P(A|B)
• P(A∩B) = P(A)∙P(B)

TEOREMA DI BAYES

P(A∩B) = P(A|B)∙P(B) = P(B|A)∙P(A)

P(A|B) = P(B|A)∙P(A) / P(B)

P(B|A) = (P(B|A)∙P(A)) / P(A∩B) + P(B|A)∙P(A)

CALCOLO COMBINATORIO

• Permutazioni n=k (Conta l’ordine)

P_n,n¹

• Disposizioni n_nk (Conta l’ordine)

D_n,k = n! / (n-k)!

• Combinazioni n_nk (Non conta l’ordine)

C_n,k = n! / k!(n-k)!

senza ripetizioni:

n = numero oggetti k = numero posti

n_nk = n! / k!

con ripetizioni:

n_nk = n! / (n₁! n₂! ... n_k!)

VARIABILI CASUALI

è una funzione di variabile reale che assegna un elemento degli eventi Ω all’insieme dei numeri reali R

Ω

0 nr₁ fr₀

1 nr₂ fr₁

2 nr₃ fr₂

3 nr₄ fr₃

DISCRETE

definite con numeri interi

E(X)=Σx_ip(x_i)(valore atteso-media)

V(X)=Σx_i²p(x_i)-E(X)²(varianza)

CONTINUE

definite da un intervallo

E(X)=∫_-∞^∞ x∙f(x)dx

V(X)=∫_-∞^∞ (x-E(X))²f(x)dx

UNIFORME

tutti gli eventi hanno la stessa probabilità di verificarsi

X∈(x;y)

μ_x=^(x+y)⁄₂

σ_x=√^(x+2-y2)⁄₁₂

BERNOULLI

esistono solo due possibili esiti

• X=1→p=x
• X=0→p=1-x

μ=p

σ² = p(1-p)

BINOMIALE

su di un esperimento con n prove indipendenti, esistono due esiti per ogni prova

(ⁿ⁄_k)(coefficiente binomiale)

b=ⁿ⁄_k p^k(1-p)^n-k

E(X)=n∙pδ²_x=np(1-p)

RETTANGOLARE

densità costante all’interno di un intervallo

f(x)=¹⁄_b-a F(x)=^x-a⁄_b-a

E(X)=^(a+b)⁄₂

δ²=^(b-o)2⁄₁₂

VARIABILI CASUALI NORMALI

è una variabile continua di estrema μ;σ²

f(x)=¹⁄_σ√2π e^{- (x- μ)2⁄_2σ2}

P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5simmetrica

y(z)=¹⁄_√2π e^z2⁄₂

• P(z≥z₁)=0
• P(z≥z₂)=1-P(z≤z₂)
• P(z₁≤z≤z₂)=P(z≤z₂)-P(z≥z₂)

z=^X-μ⁄_σ∈N(0;1) variabile normale STANDARDIZZATA(per risolvere le variabili normali)

stima

è una modalità di valutare sulla popolazione, basandosi su un CAMPIONE

MEDIA CAMPIONARIA

E(X)=μ^x⁄_n∈N(μ,^σ2⁄_n)

z=^x⁄_n-μ⁄_^σ⁄√n

δ^x⁄_n = ^σ⁄_n → errore standard (diminuse se n aumenta)