Appunti Segnali e Sistemi

Segnali e sistemi

1 - Tipi segnali

Continui

(t ∈ ℝ)

• Esponenziale → v(t) = Ae^Φt
• Sinusoidale → v(t) = Acos(ωt + Φ)
• Finestre rettangolare → AT (t − t₀)^(T) _T=1
• Finestre triangolare → AL (t−t₀) _T=2
• Impulso generale → δ(t−t₀) = 1 t=_t0 0 altrove
• Gradino generale → A_S (t+t₀) = A _t ≥t₀ 0 altrove
• Rampa generale → A_S (t+t₀) = A t ≥t₀ 0 altrove

Discreti

(k ∈ ℤ)

• Impulso → δ(k−k₀) = 1 k=_k0 0 altrove
• Gradino generico → A_S (k−k₀) = A k ≥k₀ 0 altrove
• Rampa generica → A_S (k−k₀) =Ak ≥k₀ 0 altrove
• Finestra rettangolare → k_r (r) =1_Oc k=Nk₀ 0 altrove
• Esponenziale → u(k) = Ae^Φk
• Sinusoidale → v(k) = Acos (θk + Φ)

2 - Segnali potenza e energia

Energia

E_v = ∫ _−∞^+∞ |v(t)|² dt

Potenza

P_v = (1/2T) {∫_−T^T |v(t)|² dt}

3 - Sistemi a tempo continuo

(Analisi in s)

Modello generico

∑_i=0ⁿ a_i (dⁱu(t))/dtⁱ = ∑_i=0^m b_i (dⁱy(t))/dtⁱ

n ≥m → sistema => paròmon =m → sistema strettamente => paròmo

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Segnali e sistemi

(Guida)

1 - Tipi segnali

Continui

(t ∈ R)

• Esponenziale → v(t) = Ae^φe^st
• Simusoidale → v(t) = A cos(ωt + φ)
• Finestra rettangolare → AΠ( t-τ T ) T=1
• Finestra triangolare → AΛ( t-τ T ) T=2
• Impulso generale → δ(t-t₀) = { 1 t=t₀ 0 altrove}
• Gradino generale → A S₁(t-t₀) = { A t≥t₀ 0 altrove}
• Rampa generale → A S₂(t-t₀) = { At t≥t₀ 0 altrove}

Discreti

(k ∈ Z)

• Impulso → δ(k-k₀) = { 1 k=k₀ 0 altrove}
• Gradino generico → A S₁(k-k₀) = { A k≥k₀ 0 altrove}
• Rampa generica → A S₂(k-k₀) = { Ak k≥k₀ 0 altrove}
• Finestra rettangolare → Π_k(T) = { 1 0≤k
• 0 altrove}

Δ > 0 → ψ₀(t) = C₁ e^λ₁t + C₂ e^λ₂t     ⇒   λ₁ e λ₂ soluzioni dell’eq. caratteristica

Δ=0 → ψ₀(t) = C₁ e^λt + C₂ t e^λt     ⇒   λ soluzioni dell’eq. caratteristica

Δ bisogna ricapire l'evoluzione libera mettendo d_i→ c_i,l. N.B: i coefficienti d_i, c_i; l vediamo rientriamo col modelli generale μ(k) ⇒ β(k).

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Evoluzione forzata

y_E(k) = h(k) * μ(k) = ∑_i=0^k h(k-i) μ(i) = ∑_k=0^k h(k) μ(k-i)

Risposta in frequenza

μ(k) = A cos (ϑ₀k + Φ) → y(n) = [A · A(ϑ₀) cos (ϑ₀k + Φ + φ(ϑ₀))]

|A(Ω)| = |H(e^iΩ)|

φ(Ω) = arg (H(e^iΩ))

H(e^iϑ) = ∑_k=-∞^∞ h(k) e^-iϑk

Z-Trasformata

Z {y(n)} = ∑_k=0^∞ y(n) z^-k

Proprietà

• Somma → a₁y₁(k) + a₂y₂(k) → Z → a₁V₁(z) + a₂V₂(z)
• Moltiplicazione per k → k y(k) → Z → -z · dV(z)/dz
• Moltiplicazione per k² → k²y(k) → Z → z dV(z)/dz + z² d²V(z)/dz²
• Ritardo temporale → y(k-d) → Z → z^-dV(z) + ∑_i=-dr_iz^-i
• Anticipo temporale → y(k+d) → Z → z^dV(z) - d/(z)∑_i=0d-1(x(i)z^-i)^di
• Moltiplicazione successione temporale → x^ky(k) → Z → V (z/λ)

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x Convoluzione → V₁(n)*V₂(n) _Z → V₁(.)*V₂(.)

Trasformate notevoli

• Impulso unitario → δ(n) _Z → 1
• Gradino unitario → g₁(n) _Z → Z/(Z-1)|Z| > 1
• Successione esponenziale → λⁿδ₁(k) _Z → Z/(Z-λ)|Z| > |λ|
• Successione esponenziale moltiplicata per k → kλⁿδ₁(k) _Z → λZ/(Z-λ)²
• Successione esponenziale moltiplicata per k² → k²λⁿδ₁(k) _Z → λZ(Z+λ)/(Z-λ)³
• Successione cosinusoidale causale → A cos (Bk+φ)δ₁(k) _Z → A Z[cosθ Z-cos (φ-θ)]/(Z²-2 cosθ Z+1)

12 - Sistemi tempo discreto

(Analisi in Z)

Risposta impulsiva

H(Z) = n(Z)/d(Z)

n(n)e(n° numeratore) (1° membro)

d(n)o(n° denominatore) (2° membro)

Evoluzione forzata

V(t) = H(Z)U(Z)

NB Per tornare nel dominio del tempo basta effettuare l'anti-trasformata.

Risposta singolare

Si ottiene quando i moduli dei poli della funzione H(Z) nella forma irriducibile sono <1.

I poli sono gli zeri del denominatore di H(Z).

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13^o Antitrasformata Z V(z) in forme irriducibile. V₁(z) = V(z)/z divido per z. V₁(z) = sompongo in [fatt.] semplici. Moltiplico per z. Antitrasformo.

z/(z-₁)^q+1 ⟶ z^-1 ( _kC_l) _kλ_i^k-l

1/zⁱ ⟶ z^-1 δ(k-i)

14^o Trasformata di Fourier (DTFT)

DTFT = V(e^i2πν) = ∑ V(k)e^-j2πνk

DTFT^-1 = ℑ (k) = ∫ V(e_i2πν) e^(i2πνk) dν

Trasformate notevoli

Esponenziale causale ⟶ u(k) = λ^ku_u(k) DTFT ⟶ V(e^i2πν) = 1 / 1 - λe^-i2πν

Finestra rettangolare ⟶ u(k) = R_n(k) DTFT ⟶ V(e_i2πν) = sin(πνN) / R_n(πν)e^-πi(N-1)

15 - Trasformata discreta Fourier (DFT)

N(N) ⟶ N-sequenza ⟶ Y(k) = 0 per k(o ε k) > N.

DFT = { Σ_k=0^N-1 N(k) e^-i_2πkN k=0,...,N-1

Legame DFT ⟷ DTFT

DFT = DTFT_{μ= hN}

La DFT è una versione campionata della DTFT con frequenza μ = h_N.

Ricostruzione segnale

N(k) = 1_N Σ_k=0^N-1 V(h) e^{i_2πN kh}

Se N > NDFT = DTFT_{μ= hN'}

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