Appunti scritti al computer di analisi 2

Equazioni differenziali

Generalità

Con il termine equazione si intende un’uguaglianza con una incognita. Risolvere l’uguaglianza significa trovare il valore dell’incognita per cui quella uguaglianza sia verificata. Finora il valore dell’incognita era un numero.

Nel caso delle equazioni differenziali l’incognita è una funzione.

Differenziale significa che nell’equazione compare un legame tra l’equazione incognita e le sue derivate.

Esistono vari tipi di equazioni differenziali:

′ ′ () = → () = () ∀ ∈ .

Dobbiamo cercare un’equazione derivabile e tale che La soluzione () = () = 2 di questa è equazione è: . Vediamo che anche è una soluzione, quindi in generale () = , ∈ ℝ.

La soluzione dell’equazione differenziale sarà 0.

Da notare che nella famiglia delle soluzioni c’è anche la funzione identicamente uguale a 1∞ → ∞

Quindi avremo soluzioni che dipendono da una costante arbitraria Avremo soluzioni.

′ = (), : → ℝ, ⊂ ℝ → () dove La soluzione è una funzione derivabile e tale che la sua derivata → → () = () . sia uguale a Le soluzioni saranno le primitive di ∫,

Data una funzione generica questa ammetterà sempre primitive? ′ ⟹ ⟹ = () Se ha discontinuità di I o III specie Non ammette primitive non ha soluzioni.

⟹ ⟹ () = () = () + , ∈ ℝ, Se è continua Ammette primitive perché sappiamo che ∫ se una funzione ammette una primitiva allora ammette infinite primitive che differiscono per una costante.

1∞ → ∞

Quindi avremo soluzioni che dipendono da una costante arbitraria Avremo soluzioni.

′′ ′′ + = → = −.

Cerchiamo una funzione derivabile due volte e tale che ′ ′′() ()() = cos , perché = − sin e = − cos Le soluzioni sono: ′ ′′() ()() = sin , perché = cos e = − sin () = cos , ∈ ℝ

cos , sin → Anche qui possiamo moltiplicare le funzioni per delle costanti () = sin , ∈ ℝ sono soluzioni.

() = cos + sin , , ∈ ℝ

′ () = − sin + cos La soluzione sarà anche una somma di queste equazioni: ′′ () = − cos − sin = −()

∞ cos , sin Quindi avremo soluzioni che si ottengono da una combinazione lineare delle funzioni e che 2, ∈ ℝ → ∞ dipendono da due costanti arbitrarie Avremo soluzioni. 1 2

′ ∞ ′′ ∞ Notiamo che nel caso con abbiamo soluzioni, mentre nel caso con abbiamo soluzioni.

Definizioni

()′ ′′(, , , , … , ) = 0 → Un’equazione differenziale è un legame del tipo: Questa è un’equazione differenziale di grado n.

L’ordine di una equazione differenziale è il massimo ordine di derivata che compare nell’equazione.

Forma normale

Data un’equazione differenziale di ordine n, diremo che è scritta in se il legame è () (−1)′ ′′ = (, , , , … , ). esplicitato rispetto alla derivata di ordine massimo:

Soluzione (), : → ℝ, Una di una equazione differenziale è una funzione derivabile almeno fino () (−1)′ ′′() = (, (), (), (), … , () ) = 0 ∀ ∈ . all’ordine n tale che

In generale, se una equazione differenziale ammette soluzioni, allora ammette infinite soluzioni. In ∞ generale, una equazione differenziale di ordine n ammette soluzioni.

L’unicità della soluzione si ottiene imponendo dei limiti, come ad esempio il passaggio per un punto:

′ = (){ Se prendiamo , avremo una sola soluzione. Abbiamo visto che: )( = 0 0 () = () = () + , ∈ ℝ. ∫ ()

La famiglia delle primitive ha un profilo comune e tutte le altre si () ottengono come traslazioni di verso l’alto o verso il basso: ()

Gli infiniti grafici non si intersecano tra ()0 loro, quindi se imponiamo il passaggio ∙ ( , ), per un punto allora esiste ed è 0 0 0() unica la primitiva di che passa per quel punto.

′ = { () = , ∈ ℝ. La stessa cosa accade se prendiamo , dove la famiglia di soluzioni era )( = 0 0

= → = ⟹ Imponendo il passaggio per un punto abbiamo che L’unica soluzione che 00 0 0 −() = ∙ → () = soddisfa questo vincolo è: . 0 00 0

Quindi se imponiamo delle condizioni iniziali possiamo ottenere una soluzione unica.

Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono equazioni che si possono scrivere come prodotto di due funzioni, una della sola e una della sola :

′ = () ∙ ()

Gli esempi visti prima sono tutti a variabili separabili:

′ ′ = → () = 1 ; ℎ() = = () → () = () ; ℎ() = 1. e

Problema di Cauchy

Problema di Cauchy (equazione differenziale + condizioni iniziali)

′ = () ∙ ℎ(){ )( = 0 0

: → ℝ , ⊂ ℝ , intervallo Vediamo gli insiemi di definizione: (Intervallo = Insieme “senza interruzioni”)

ℎ: → ℝ , ⊂ ℝ , intervallo ∈0

Perché il Problema di Cauchy abbia senso, bisogna avere: ∈ 0

Teorema di esistenza ed unicità locale

Teorema di esistenza ed unicità locale (per equazioni differenziali a variabili separabili)

Esistenza:

, ℎ , , Se sono continue e sono punti interni rispettivamente ad e 0 0

∃ > 0 : ( − , + ) → ℝ Allora ed esiste (almeno) una funzione derivabile che è soluzione del 0 0 Problema di Cauchy.

⟹ Notiamo che la soluzione ha come dominio di definizione un intorno del punto Per questo il teorema si 0 chiama di esistenza ed unicità locale (non possiamo garantire l’esistenza in grande, solo quella in piccolo).

Unicità: ℎ() Se, inoltre, è derivabile nell’intervallo con derivata continua, Allora la soluzione è unica.

Vediamo come trovare la soluzione unica del Problema di Cauchy:

′ = { → Cerchiamo una metodologia per risolvere questo Problema di Cauchy. )( = 0 0

′ () = () ∀ ∈ La prima osservazione è che deve essere vera , intervallo che ancora non conosciamo.

= 0, () ≡ 0 ∀ Caso 1. Se allora è soluzione. 0

≠ 0, () ≠ 0 → (): Caso 2. Se allora anche in un intorno di Possiamo dividere tutto per 0 0

′ ()′() (log|()|)= 1 ∀ → Vediamo che = → Sostituiamo:() ()

+ + (log|()|) |()|= 1 → log|()| = + → = → () = ± → () = ±Ο ∙ =

Integrale generale

L’insieme di tutte le possibili soluzioni si chiama e in questo caso è: () = , ∈ ℝ

0 −)( = : = → = = Per avere una soluzione unica imponiamo il dato iniziale 0 00 0 0 0 0

Sostituendo si ottiene l’unica soluzione del Problema di Cauchy:

− −() = ⟹ () = 0 00 0

Questo procedimento si può implementare per una qualsiasi equazione a variabili separabili.

↓

Scriviamo un Problema di Cauchy per una qualsiasi equazione a variabili separabili:

′ = ()ℎ(){ )( = 0 0

, ℎ ℎ Ipotizziamo continue e derivabile con derivata continua, in modo tale che siano verificate le ipotesi del Teorema di esistenza ed unicità locale.

′) ()ℎ;( = 0, () = = 0 Caso 1. Se allora la funzione costante è la soluzione, infatti e 0 0)()ℎ;(()) = ()ℎ;( = 00)

ℎ;( ≠ 0, ℎ;(()) ≠ 0 → ℎ;(()): Caso 2. Se allora in un intorno di Possiamo dividere tutto per 0 0

′ = ()ℎ;(())

1() () (), Siano una primitiva della funzione e una primitiva della funzione allora: ℎ()′ ()′

Forma ′ ′ ()((())) = (()) ∙ = = () ⟹ (()) = () + ⟹ implicita ℎ;(()) ()

→ (): Abbiamo trovato una relazione tra la e la Dobbiamo esplicitare

Forma −1 (()() = + ) ⟹ esplicita () → NB: Non sempre è possibile esplicitare Nel caso fermarsi alla forma implicita.

Integrale generale

A questo punto abbiamo trovato l’.

)( = Per avere una soluzione unica imponiamo il dato iniziale alla forma implicita: 0 0

)) ) ) ) )(( = ( = ( + → = ( − ( 0 0 0 0 0

Forma implicita

) )(()) = () + ( − ( ⟹ 0 0 della soluzione unica

(): Se possibile, esplicitiamo Forma esplicita

−1 ) ))() = (() + ( − ( ⟹ 0 0 della soluzione unica

Questo procedimento si può sintetizzare nei seguenti passaggi:

′ ′ = ()ℎ;() = ()ℎ;() → = Scriviamo e sostituiamo nell’equazione differenziale: → = ()() → ∫ = ∫ ()() → () = () + ℎ() ℎ()

Dividere le variabili Integrare

−1 (()() = + ) Si ricava

Equazioni differenziali riconducibili ad equazioni a variabili separabili

Tipologia 1

′ ( ) = + ≠ 0 e continua

Possiamo ricondurci ad equazioni a variabili separabili mediante un cambio di variabili.

′ ′ () = + → () = + () = + = + ()

Scriviamo e ′ = + () → è una equazione a variabili separabili Sappiamo risolverla.

Tipologia 2

Equazioni di Manfredi

Tipologia 2. ′ ( ) = : Possiamo ricondurci ad equazioni a variabili separabili mediante un cambio di variabili.

′ ′ ′ = → () = () → = + → + = () Scriviamo ()

−′ = → → Equazione a variabili separabili Sappiamo risolverla.

Esempio: 3 3 + ′ = 2

Come si riconosce un’equazione di Manfredi?

Se c’è un rapporto di polinomi con gradi omogenei (ad esempio qui sono entrambi di grado 3)

– 3 Si risolve dividendo numeratore e denominatore per : 31 + ( ) 31 + ′ = ⟹ () = 2 2 ( ) 1+3 1− ()− 2

′ ′ ′ ′ = → = → = + → = = → = 2 Risolviamo l’equazione differenziale: 1 1 1 32 3 √3 = → ∫ = ∫ → = log|| + → = log|| + 2 33 = → () = ∙ log|| + √3

Torniamo alla

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Una generica equazione differenziale lineare è della forma:

′ = () + () , : → ℝ , ⊂ ℝ

Hanno diverse proprietà, una delle quali è che il Problema di Cauchy ammette un’unica soluzione globale, ⊂ ℝ. cioè definita su tutto

Teorema di esistenza ed unicità globale

Teorema di esistenza ed unicità globale (per equazioni differenziali lineari del 1° ordine)

, , Se sono continue nell’intervallo

∀ ∈ ∀ ∈ ℝ, (), , Allora e esiste ed è unica una funzione definita in soluzione di: 0 0

′ = () + (){ )( = 0 0

Notiamo che qui possiamo garantire l’esistenza in grande.

Omogenea.

Definizione: () ≡ 0, Se allora l’equazione si dice

Soluzioni alle equazioni lineari del primo ordine

Vediamo come si determinano le soluzioni alle equazioni lineari del primo ordine:

′() ()≡ 0 ⟹ = Caso 1. 1 () ()) Dove è una primitiva di

= () → ∫ = ∫ () → log|| = () + ()+ ()+ () ()|| = → = ± → = ±Ο = ()

Integrale generale dell’equazione omogenea = L’ è:

Vediamo il Problema di Cauchy:

′ = () 0) )( −(){ , Avremo che ( = ⟺ = → = = 0 00 0 0 0) )( = ( 00 0 ) )−( () ()−( ⟹ () = = 0 00 0

)() (), () − ( = () Ricordiamo che è una primitiva di quindi ∫0 0

Soluzione del Problema di Cauchy

Quindi la è: ()∫() = 00

′ () = + () Caso 2. Equazione non omogenea:

(), Immaginiamo di conoscere già una soluzione particolare dell’equazione differenziale chiamata Allora l’integrale generale è:

()() = Ο + ()

Soluzione omogenea

′ () ′ ′ () ′() () () () = ∙ + = () + Infatti: () ()()() + () = () + () + ()

′ () ′ ()() () = () + () ⟹ () + = () + () + ()

Dato che ′ () () = () + ()()

Viceversa, se è soluzione dell’equazione non omogenea, allora:

′ () = () + ()

′ () () = () + ()

′ ′ ′() () − è soluzione ′ ′ ′ ′() () () ())⟹ − = ()[() − ()] ⟹ ( − = ()( − ) dell’equazione omogenea

()′ ′⟹ ∃ ∈ ℝ: , cioè l’integrale generale dell’omogenea. () () − = () + ()

Quindi abbiamo dimostrato che () =

(): Come determinare

()()→ = () la soluzione particolare deve avere una struttura precisa Poniamo ()()

L’idea è quella di cercare una funzione in modo tale che sia una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

() è una soluzione se la sua derivata soddisfa l’equazione differenziale, quindi calcoliamo:

′ ′ () ()() () = + () ()()

′()() + () = ()() + () () = () + ():

Calcoliamo e sostituiamo in ′ () () ()() + () () = ()(