Appunti Analisi 2

Analisi 2

Funzioni reali di più variabili

• 1. Limiti - continuità - derivate - differenziabilità - teorema del differenziale totale - teorema di Schwarz - matrice hessiana e massimi e minimi.

Funzioni vettoriali

• 2. Limiti - matrice jacobiana - divergenza e rotore.

Equazioni differenziali

• 3. A variabili separabili - lineari del primo ordine - lineari del secondo ordine.

Integrali curvilinei

• 4. Lunghezza curva - integrale curvilineo di funzioni scalari - integrale curvilineo di un campo vettoriale - gradiente di una funzione scalare - campo conservativo - aperto connesso - x trovare il potenziale - campi vettoriali irrotazionali - formula di Green - teorema di Gauss o della divergenza - teorema di Stokes o del rotore - aperti semplicemente connessi (relazione tra campi conservativi e irrotazionali).

Serie numeriche

• 5. Condizione necessaria - serie a termini positivi - serie a segni alterni - criterio di Leibniz.

Serie di funzioni

• 6. Serie di funzioni.
• 7. Serie di potenze.
• 8. Serie di Taylor.

1. Funzioni reali di più variabili

 Funzioni ( )k f x , ..., xf : R → R

Funzioni scalari di k variabili: con un numero reale1 kf : A → RUna funzione si dice reale di due (di tre, di k) variabili reali se il suo dominio A è un3 kdi R , di Rsottoinsieme di )2 ¿R

Limite in più variabili

Pf : A → RLimite finito-finito: Sia una funzione reale di k variabili reali e sia un punto0di accumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende ad un numero reale l per P che∥<P 0<∥ P−P δ>ε 0 δ> 0 P∈ Atende a se per ogni esiste un tale che da e0 0(lim f P)=l¿ (P)−l∨¿f εsegue che . In tal caso si scrive .P → P 0=( )eP x , y P=(x , y)

Se f è di 2 variabili, posto la definizione precedente è equivalente0 0 0 (x ), yalla seguente. Si dice che f (x, y) tende ad un numero reale l per (x, y) che tende ad 0 0> >ε 0 δ 0 εse per ogni esiste un (dipendente da ) tale che da√ 2 2( ) ( ) ( )∈ ¿ (xx , y A f , y)−l∨¿ ε+ − <0< x−x y y δ e segue .0 0 ( )=llim f x , yIn tal caso si scrive .(x ), y)→( x , y0 0

Pf : A → RLimite finito-infinito: Sia una funzione reale di k variabili reali e sia un0+∞punto di accumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende a per P che tende a∥<P 0<∥ P−P δ> >M 0 δ 0se per ogni esiste un (dipendente da M) tale che da e0 0P∈ A segue che f(P)>M

Limite direzionale

P→ PSupponiamo che esista il limite per di f(P). Allora, fissata una qualunque direzione v,0∥v ∥=1k∈cioè un vettore tale che , è facile verificare che esiste ed è uguale alv R ( +tv)lim f Pprecedente anche il .0t→ 0 ¿ )x , y →( x , y

Nel caso ad esempio di 2 variabili, se esiste il limite per ( di f(x, y), allora,0 02 2 2∈=(h )fissato, un qualunque vettore tale che , è facile verificare chev , k R +k =1h( +th +tk)lim f x , yesiste ed è uguale al precedente anche il .0 0t→ 0 ( +tv)lim f PP→ PIn altre parole, se esiste il limite per di f(P), allora il limite direzionale 00 t→ 0,esiste per ogni direzione v ed è indipendente da essa. Di conseguenza, se il limite direzionaleP(in ) dipende dalla direzione (o non esiste per qualche direzione), allora f(P) non ammette0 P→ Plimite per .0

xylimES. Per esempio possiamo considerare il . Fissiamo poi un vettore2 2+x y( ) ( )x, y → 0,02 2 2(h )∈ tale che e poi eseguiamo le seguenti sostituzioni: x=th e y=tk. Si, k R +k =1havrà: 2t hk hk=lim =hklim .2 2 2 2 2 2+t +kt h k ht → 0 t → 0Ad esempio, nelle direzioni degli assi coordinati il limite viene 0, mentre nella direzione (√ √¿=(1/h , k 2; 1/ 2) , cioè nella direzione della retta y=x il limite viene ½.2Il limite direzionale dipende quindi dalla direzione (h, k). Si può pertanto concludere che laxy ( ) ( )x , y → 0,0funzione non ammette limite per .2 2+x y

L’esistenza del limite direzionale non garantisce tuttavia l’esistenza del limite.

lim x √ES. Per esempio possiamo considerare il .( ) ( )x , y → 0,0 2 2+∙ x yy lim hth h√ √Il limite direzionale esiste ed è uguale a2 2 2 2 2 2 t →0| |+t =lim +k =lim ∙ t h k ∙ t ∙ h ∙∨t∨¿tk k kt → 0 t →0k ≠ 00 lungo ogni direzione v =(h, k) (con ). Perciò, per l’osservazione fatta prima, seesistesse il limite della funzione per( ) ( )x , y → 0,0 , esso sarebbe necessariamente uguale a 0. Però, se consideriamo il limite dellax √+¿ 2 4+ =1x → 0 ∙ x x2x2restrizione della funzione data la curva con x > 0 si ottiene ily=x ¿lim¿. Perciò il limite considerato non esiste.

Continuità di un punto

∈P AkDEF (di continuità in un punto): Data e dato un punto diremo⊆f : A R →R 0P P Pche f è continua in , se è un punto isolato di A oppure, nel caso che sia un0 0 0(P)=f ( )lim f Ppunto di accumulazione di A e vale che il .0P → P 0P > >0ε 0 γIn ogni caso f è continua in se per ogni esiste un tale che da0∥ ∥<P∈ A e P−P γ segue0¿ (P)−f (P )∨¿f ε .0

k⊆DEF (di continuità in un punto con le successioni): Data e dato unf : A R → R∈P A Ppunto di accumulazione per A diremo che f è continua in se per ogni0 0{ }P P → P (P )→ (P )f fsuccessione in A tale che risulta che .n 0n 0n ∈n N

Derivate parziali

=( )P x , y2f : A → RDEF: Sia una funzione definita su un aperto A di e sia unR 0 0 0punto di A. PLa derivata parziale di f nel punto rispetto alla prima variabile è (se esiste) la derivata in0x x → x↦ ( )x f x , ydella funzione parziale , ovvero è il limite (se esiste finito) per00 0(x )−f (x )f , y , y ∂f0 0 0 ( )x , ydel rapporto incrementale e si scrive .0 0∂xx−x 0In modo analogo si definisce la derivata parziale rispetto alla seconda variabile.

La derivabilità non implica la continuità.

Derivata direzionale

∈P Akf : A → RDEF: Sia una funzione definita su un aperto A di e sia . Fissata unaR 0∥v ∥=1k∈qualunque direzione v, cioè un vettore tale che , la derivata direzionale di fv RPin lungo il vettore v è (se esiste) la derivata della funzione in una variabile0 =0t∈(−δ )→ ( +t ,+δ f P tv) in .0 0 ( +tv)−f (P )f P 0 0P limIn altre parole, f è derivabile in lungo il vettore v se esiste finito .0 tt→ 03

Differenziabilità

Consideriamo il caso di funzioni in 2 variabili: =( )P x , y2f : A → RDEF: Sia una funzione definita su un aperto A di e sia unR 0 0 0Ppunto di A. Diremo che f è differenziabile in se oltre ad essere derivabile il0( ) ( )( ) ( )( )( ) −f −f −ff x , y x , y P x−x P y− y0 0 x 0 0 y 0 0 =0lim .√ 2 2( ) ( )+ −x−x y y( )( )x, y → x , y0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−f + + −x , y f P x−x f P y y rappresenta il piano tangente al grafico di f in0 0 x 0 0 y 0 0(x ( )), y , f x , y .0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )− =f +df P x−x , y y P x−x f P y− y

Il polinomio omogeneo di primo grado si0 0 0 x 0 0 y 0 0Pchiama differenziale della funzione f calcolato in e applicato al vettore incremento0( )= −P−P x−x , y y .0 0 0

(x ), y-Se una funzione f ammette derivate parziali in un punto , in tale punto si definisce il0 0vettore gradiente di f: f( ) ( )¿ x x , y , f x , y(¿ ) .0 0 y 0 0∇ (x )=grad ( )=¿f , y f x , y0 0 0 0

La differenziabilità implica la continuità.

Kf : A → RTEOR: Sia una funzione definita su un aperto A di differenziabile inR∈P A P. Allora f è continua in .0 0 P→ P(P) ( )f → f PDIM: Dobbiamo provare che per . Dalla differenziabilità abbiamo:0 0( ) ( ) ( )( )−f =grad + ∨¿)f P P f P ∙ P−P o(¿∨P−P0 0 0 0Applicando la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza di Schwarz abbiamo:| || | (| |)| |( ) ( ) ( )( ) −f ∨+¿f P P ≤ gradf P ∙ P−P o P−P0 0 0 0| || | | || | | | (| |)| |( ) ( ) +≤ gradf P ∙ P−P o P−P0 0 0| || |( )→ gradf P ∙ 0+00

La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate.

Kf : A → RTEOR: Sia una funzione definita su un aperto A di differenziabile inR∈P A P. Allora f ha derivate direzionali in lungo ogni direzione v e si ha:0 0Df (P )=grad (P )f ∙ v .0 0Dv ¿∨v∨¿=1DIM: Dalla differenziabilità con H=tv e abbiamo:(P + ( )=grad ( )∙(tv)+o (¿∨tv∨¿)f tv)−f P f P0 0 0( +tv)−f (P ) ( ) (¿∨tv∨¿) (P )∙f P grad f P ∙(tv)+o t grad f v o(t∨¿ v∨¿)0 0 0 0= = +t t t t( +tv)−f ( )f P P0 0 =grad (P )∙lim f v0tt→ 0

La derivabilità non implica la differenziabilità.

Teorema del differenziale totale

4 kf : A → RSia una funzione definita su un aperto A di derivabile in tutto A con derivateR∈P A Pparziali continue in . Allora f è differenziabile in .0 0

La condizione espressa da questo teorema non è però necessaria alla differenziabilità.

Teorema di Schwarz

2 2f : A→R-Teorema di Schwarz: Sia una funzione di classe su un aperto A di ,C Rallora: 2 2∂ f ∂ f ( )∈x , y A(x (x ), y)= , y per ogni . (derivate parziali seconde miste)∂y∂x ∂x∂y

Massimi e minimi relativi

2: A →R-Massimi e minimi in relativi : Sia f una funzione di classe su un aperto A diC( )( ) (P )f P f∈ xx 0 xy 0(P )=P A . H f2 e sia Consideriamo la matrice: che è detta laR 00 (P ) ( )f f Pyx 0 yy 0Pmatrice hessiana di f in . Possiamo notare che, in conseguenza del Teorema di Schwarz, si0(P )=f ( )f Pha e, pertanto, la matrice è simmetrica.xy 0 yx 0Avremo quindi il seguente teorema:

2 2: A → RTEOR: Sia f una funzione di classe definita su un aperto A di .C R∈P ASupponiamo che in un punto si annullino le due derivate parziali di f. Se il0 Pdeterminante della matrice hessiana in ossia:0( ) ( ) ( ) ( ) ( )=f −fdetHf P P f P P f P0 xx 0 yy 0 xy 0 yx 0P (P )<f 0è positivo, allora è un punto estremante, quindi massimo relativo se xx 00 ( )>f P 0o minimo relativo se xx 0se è negativo, non è estremante ma è detto punto di sella se è nullo, non si ha nessuna informazione sulla natura del punto critico5

Funzioni vettoriali in più variabili

 Funzioni ( )k m f x , ..., xf : R → R

Funzioni vettoriali di k variabili: e è un vettore1 k(f (x ), (x )),... , x ... , f ,... , x1 1 k m 1 k mTali funzioni sono anche dette campi vettoriali. Sia un’applicazione definita in unf : A → Rksottoinsieme A di .R

Limite

Pk mLimite finito-finito: Sia una funzione vettoriale e sia un punto di⊂f : A R → R 0 maccumulazione per il dominio A di f. Si dice che f(P) tende ad un vettore per P cheL∈ R ∥<P 0<∥ P−P δ>ε 0 δ> 0tende a se per ogni esiste un tale che da da (norma in0 0k m∥ (P)−l∥<P∈ A f ε) e segue che (norma in ).R R

Matrice jacobiana

m kSia un’applicazione derivabile definita su un aperto A di Denotiamo conf : A → R R .f , f , ... , f le m funzioni reali che compongono la f (sono funzioni reali di k variabili reali).1 2 m ∈P AFissato un punto , la matrice:0 Psi chiama matrice jacobiana dell’applicazione di f in (tutti i valori della matrice sono0Pcalcolati in ).0 f , f , ... , fLa matrice è composta da m righe che sono i gradienti delle componenti della1 2 mfunzione f. Quando k=m la matrice è quadrata e in questo caso ha senso il suo determinante.

Alcuni esempi di funzioni vettoriali di variabile reale sono: coordinate polari, sferiche e cilindriche.

Divergenza e rotore

Divergenza e rotore (agiscono su campi vettoriali)(f (x ) ( ) ( )),... , x , f x ,... , x , ... , f x , ... , x1 1 k 2 1 k k 1 kk kDivergenza Sia , un campo⊆f : A R → R (x )=¿f , ..., x1 k1 kvettoriale di classe su un aperto A di . Si definisce divergenza di F e si indica conC R¿ f la funzione a valori reali: k ∂f∑ i¿ (x )= (x )f , ..., x , ... , x .1 k 1 k∂ xi=1 i

 Somma delle derivate parziali delle componenti di F lungo la direzione degli assi (x ), ( ), (