Appunti di Robotica

Università del Salento

Department of Innovation Engineering

Master’s degree in Computer Engineering

Robotica

Robotica

Dott. Marco Chiarelli

Academic Year 2016/2017 1

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Sommario

Le seguenti dispense vogliono essere un resoconto didattico del corso di Robotica, il quale docente è il prof. Giovanni Indiveri, presso il CdL in Ingegneria Informatica at Unisalento.

Il programma copre quattro macro-argomenti: le Rotazioni, la Dinamica di Corpo Rigido, le tecniche ed algoritmi di pseudoinversione relative all’Identificazione Parametrica ed infine la Teoria del Controllo di Sistemi Robotici.

Il seguente lavoro non ha la pretesa di sistematizzare in maniera esatta ciò che è stato fatto a lezione, sebbene l’impostazione di base cerca di seguire fedelmente ogni singola lezione che è stata erogata.

Piuttosto cerca di raccogliere in maniera sintetica ma al contempo esaustiva gli aspetti chiave della Teoria del Controllo applicata ai Sistemi Robotici di vario tipo, e cerca di fare ordine tra una quantità non indifferente di nozioni, e soprattutto di dare un sussidio alla preparazione di un eventuale esame didattico che richieda la conoscenza di queste nozioni e relativa applicazione per quanto concerne il lato pratico. 3

Abstract

The following work wants to be a report about the Robotics course, whose teacher is the prof. Giovanni Indiveri, at. Computer Engineering @ Unisalento.

The program covers four macro-topics: Rotations, Rigid Body Dynamics, pseudoinversion Algorithms related to Parametric Identification and a final chapter about Control Theory involved in Robotics Systems.

It won’t systematize the entire work done at lessons in an exact manner, despite the base setting tries to follow each lessons that has been delivered to us.

It tries to gather the key aspects of the Robotics, and to reorder some difficult notions. Moreover it tries to give an help for the preparation of an eventual didactic exam that requires the knowledge about these notions and the related practical applications/homework/exercises.4

Indice

• Introduzione ii
• 0.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
• 1 Robotics 1
• 1.1 NGC - Navigation, Guidance, Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Robotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.2.1 PWM: Pulse Width Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.2.2 Robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.3 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.3.1 Vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 2 Rotazioni 8
• 2.1 Matrici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 2.1.1 Matrici simmetriche / antisimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.1.2 Skew-symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.1.3 Matrici esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.1.4 Angoli di Eulero, YPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 2.1.5 Quaternioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 2.1.6 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 2.1.7 Vettore velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.1.8 Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2.1.9 Legame tra Velocità Angolare e Parametri delle Rappresentazioni . . . . . 24
• 2.1.10 Legame generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 2.2 Cinematica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 2.2.1 Manipolatori - Nomenclatura e convenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 2.2.2 Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.2.3 Denavit - Hartenberg (DH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 2.2.4 Digressione sull’Osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 3 Dinamica di Corpo Rigido 41
• 3.1 Dinamica di Corpo Rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 3.1.1 Energia Cinetica e Momento d’Inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 3.1.2 Review sull’Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 3.1.3 Bilancio di Forze e Coppie Generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 3.2 Veicoli e Fenomeni Marini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 3.2.1 Scenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 3.2.2 Froude Number e Reynolds Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 3.2.3 Masse Aggiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 3.2.4 Altri fenomeni di Forze Esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 3.2.5 Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 3.2.6 Disturbances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 3.2.7 Derivate Idrodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 4 Identificazione parametrica 58
• 4.1 Identificazione parametrica e pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 4.1.1 Identificazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 4.1.2 Schema di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 4.1.3 Pseudoinverse (RANK - MAX - ALGORITHMS) . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 4.1.4 Pseudoinverse (NON-RANK-MAX ALGORITHMS) . . . . . . . . . . . . . . 64
• 4.2 Identificazione parametrica utilizzando metodi probabilistici . . . . . . . . . . 71
• 4.2.1 Approccio non Bayesiano - Maximum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . 72
• 4.2.2 Approccio Bayesiano - Maximum A Posteriori . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 4.2.3 Minimi quadrati Ricorsivi - (R)WLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 4.2.4 Filtro di Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 4.3 Pseudoinverse in generale / SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 4.3.1 SVD con Matrice dei Pesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 4.3.2 Legame tra SVD e (D)WLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 5 Teoria del Controllo 88
• 5.1 Controllo di manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 5.1.1 Controllo cinematico di manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 5.1.2 Task robotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 5.1.3 Modello cinematico dei manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
• 5.1.4 Caso di assetto / posizione desiderata costante . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 5.1.5 Considerazioni pratiche sulla soluzione generale . . . . . . . . . . . . . . 93
• 5.1.6 Modello dinamico dei manipolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 5.1.7 Ellissoidi di manipolabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 5.1.8 Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 5.1.9 Lagrangian equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 5.1.10 Spazio dei Giunti e Spazio Operativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 5.1.11 Digressioni sul motore in corrente continua ed Encoder . . . . . . . . . . 110
• 5.2 Controllo di Interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 5.2.1 ROS - Robot Operating System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 5.2.2 Controllo di cedevolezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 5.2.3 Controllo di impedenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
• 5.3 Dinamica di corpo rigido applicata ad un sistema marino . . . . . . . . . . . . 113
• 5.3.1 Allocatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
• Appendici 117
• 5.4 Varie dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
• 5.4.1 Dimostrazioni e Proprietà delle Rotazioni e dell’Antisimmetria . . . . . 117
• 5.4.2 Dimostrazioni e Derivazioni sulla Teoria del Controllo . . . . . . . . . . 118
• 5.5 Identificazione Parametrica: Pseudoinverse ed SVD . . . . . . . . . . . . . . . 121
• 5.5.1 Considerazioni sulle pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
• 5.5.2 Considerazioni sull’Identificabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
• 5.5.3 Calcoli di Media e Varianza della Stima MAP (DA VERIFICARE) . . . . 125
• 5.5.4 Prodotto Matrice Vettore e Matrice Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Ringraziamenti

Un grazie particolare va ai miei compagni d’università, Dino Sbarro, Gabriele Accarino, Giampiero D’Autilia, Matteo Settembrini, Paolo Panarese ed Emanuele Costa Cesari.

Introduzione

0.1 Overview

Il corso di Robotica è prettamente algoritmico. Riguarderà la Modellistica, la Cinematica, Algoritmi di Stima (problemi di navigazione), controllo di Robot più o meno complicati. Algoritmi realmente utili su un sistema reale. Testing su un ambiente di prototipazione. Simulazioni di scenari abbastanza complicati. Attività sperimentale su piattaforme serie reali.

Sistemi in HW per un sistema di controllo su un Segway (pendolo inverso), autostabilizzante. Stima della POSA. Più concentrato sul filtraggio. Problema della Stima, della LOCALIZZAZIONE. Robot che si muovono in ambienti sconosciuti. Problema fondamentale. Altre tecniche {GPS, utilizzate sono il filtro di Kalman, Louenberger: Accelerometri, Giroscopi}. Funzionano meglio di Google Track ! Sugli Android si utilizza soltanto il GPS per favorire l’interoperabilità e la portabilità. Sviluppo SW: progettazione analitica dei filtri. Sviluppo codice eventualmente su queste piattaforme.

ISME - Integrated System for Marine Environment. Istituzione di cui UNISALENTO fa parte. Centro interuniversitario. Network di diversi atenei che si occupa di Robotica Marina. Di fatto sono tutti ricercatori o docenti di Automatica. Vengono da Pisa, Firenze, Genova, Sapienza di Roma (da qualche mese). Tranne a Firenze, gli altri sono fondamentalmente tutti automatici. Molte attività di ricerca sono svolte in questo ambito. Risultati ottenuti in laboratorio sono quasi tutti fatti nell’ambito di ricerche ISME.

Robotica: Come materia è una disciplina fortemente multidisciplinare. Il termine Robotica è un contenitore molto ampio. Robot e veicoli subacquei. ROV: Remotely Operated Vehicle. Robotica marina, applicazioni robotiche legate in qualche maniera al subacqueo. Il corso non è al 100% incentrato sulla robotica marina, ma quasi. Robot che volano. Aeroplani, quadricotteri, droni etc. I veicoli subacquei sono un po’ meno comuni. Elicottero: veicolo che si utilizza per muoversi in regimi limitati a velocità basse. HOVERING: stare fermi. Aeroplani: velocità alte su grandi distanze.

Nell’ambito marino abbiamo le stesse classificazioni: I ROV prediligono velocità basse, massima precisione ottenibile, mentre altri robot subacquei invece prediligono grandi distanze e grandi velocità. Nei ROV troviamo il cosiddetto Tetere, cavo che collega il ROV agli operatori. I veicoli evoluti hanno dei sistemi di comando abbastanza complessi. Orientazione automatica, etc. Abbiamo i vari sottosistemi: Elettronico, Motore, etc. fissati sul telaio, una struttura di metallo. Veicoli Open-Frame (a telaio aperto, letteralmente).

Caratteristica principale: motori aggiuntivi: si tratta di sistemi sovrattuati, ove abbiamo più motori di quelli strettamente necessari. Nello spazio libero abbiamo sei gradi {(x, di libertà: y, z), (θ , θ , θ )}. Bisogna produrre forze e coppie lungo i sei assi. Abbiamo x y z invece addirittura otto motori sovrattuati: più motori, attuatori rispetto a quelli che servono indispensabilmente. Il BRACCIO ha sei gradi di libertà. Noi abbiamo sette motori, essendo quindi dei sistemi sovrattuati.

Problema corrispondente nell’Algebra Lineare: sistemi con infinite soluzioni. Scegliamo tra quelle infinite quelle che soddisfano qualche particolare criterio di ottimizzazione. INFINITE POSE sul braccio corrispondenti a quelle determinate dalla posa della mano. Quella che corrisponde alla fatica minore da compiere, tipicamente è un esempio di un tale vincolo sceglibile.

Tornando al ROV, sotto il mantello del motore troviamo l’ELICA. Quattro di questi motori sono nei quattro spigoli verticali. Gli altri quattro sono disposti a 45◦ orizzontalmente tra di loro. Questi ultimi comandano la spinta in avanti: SURGE, che sarebbe la velocità in direzione dell’asse principale di moto, Due che spingono nella stessa direzione. SWAY, grado di libertà ⇐⇒ perpendicolare. Se i motori spingono in maniera differenziale, si verificano le rotazioni IMBARDATA. Quelli verticali, se spingono in maniera uniforme si muoveranno uniformememente lungo z. Altrimenti BECCHEGGIO: pitch, oppure ROLL: rollio.

L’Acqua produce pressione. La pressione indotta dal fluido è proporzionale alla quota. Qualunque oggetto che vogliamo proteggere dall’acqua va mandato in tenuta stagna.

Come modelli dei motori, vedremo una versione semplificata del modello matematico del → motore elettrico. Il punto più delicato in un motore marino è la transizione interna esterna. Guaina di transizione. Molto complessi e molto costosi in tutte le soluzioni tecnologiche. Proteggere dei contenitori. In aria questo problema non è presente.

La Spinta di Archimede è data dalla famosa formula: S = ρV g

E’ una spinta dal basso verso l’alto da parte del fluido. Viene sfruttata per rendere possibile il galleggiamento. Rimanere in equilibrio: bisogna eguagliare la FORZA PESO con la SPINTA DI ARCHIMEDE: condizione neutrale. Abbiamo due tipi di oggetti:

• Oggetti positivi: tendono a rimanere a galla;
• Oggetti negativi: tendono ad affondare.

Parte gialla: galleggiante. Salvagente del robot. Esso deve pesare il meno possibile, cosı̀ che abbiamo una spinta più grande possibile. Volume maggiore. Galleggiante in maniera tale che il peso del volume d’acqua che sposta sia pari al peso del veicolo. La SALINITÀ dell’acqua NON è sempre uniforme! Bisogna compensare masse e volumi. Incertezza che tipicamente si corregge sul posto. Veicoli complicati tecnologicamente.

In superficie la pressione non è un problema. Ma già a 10 m abbiamo 10 atm! Gestione della pressione. La parte più costosa è proprio il galleggiante! Il POLISTIROLO probabilmente si ridurrebbe ad una monetina. Letteralmente imploderebbe. I costi sono quindi abbastanza elevati per costruire questi oggetti.

Robot mobili. Problema dei Robot mobili. Nella robotica mobile sono coinvolti veicoli che si muovono su ruote o su zampe, tipicamente a terra. Possiamo anche avere veicoli a leg (gambe), ed in tal caso avremmo la problematica della LOCOMOZIONE. Vanno molto forti oggi. Tecnologica delle cosiddette RUOTE SVEDESI, le quali scivolano di lato. Le ruote della nostra macchina sono invece fatte per ruotare perpendicolarmente all’asse principale.

RUOTE SVEDESI: Piccole ◦ rotelline che ruotano di lato. Se ne mettiamo tre a 120 , l’oggetto risultante può traslare in ogni direzione. La mobilità delle ruote svedesi è molto maggiore. Abbiamo dei veicoli che ruotano sulla z allo stesso tempo. Problemi di vario tipo. Perimetro della ruota non proprio rotondo. Problema delle vibrazioni. Oltre una certa velocità sono abbastanza fastidiose.

Capitolo 1

Robotics

Un ambito molto recente di Robotica è quello della Robotica Cooperativa, ove l’interesse non è il controllo di un veicolo, ma di controllarne tanti! Anche in ambito di controllo del motore robotico vi sono dei problemi in questo senso. Studiamo i vari sottosistemi di cui si compone un sistema robotico:

1.1 NGC - Navigation, Guidance, Control

• NAVIGAZIONE: tutti i metodi e tecniche per produrre una Stima dello Stato;
• Sistemi quanto più vicini possibili agli attuatori. Algoritmi di basso livello CONTROLLO: che gestiscono il motore. Sostanzialmente sono dei PID che regolano la pressione con la quale entra il fluido di carburante nel motore. Gli anelli di controllo in HW girano a frequenze abbastanza alte;
• GUIDA: sottosistema di più alto livello. Può essere paragonato all’autista di una macchina. Fornisce comandi di alto livello agli altri sottosistemi.

Tutti questi livelli possono ricevere comandi od informazioni dall’esterno, da un livello superiore. Ad esempio, la spia del carburante, oppure le gomme forate. Queste variabili potrebbero influire sugli altri sistemi. La GUIDA in ambito robotico può essere automatizzata, mediante l’utilizzo dell’Autopilota. Gran parte di quel che faremo nel corso sarà incentrato sulla GUIDANCE.

Il livello di MISSIONE è quello che genera i TASK. COMPITO ROBOTICO: macroattività. Se il robot è un veicolo, i task di moto più comuni sono:

• Inseguimento di cammino;
• Inseguimento di traiettoria;
• Inseguimento della POSA; t→+∞⇐⇒ −−−−→

Problemi di controllo: mandare l’errore a 0 e 0. Nei problemi di inseguimento di cammino, l’errore è proprio una quantità geometrica. L’inseguimento di traiettoria è simile, ma non uguale! È parametrizzato dal tempo. Nei problemi di Path Following NON vi è necessariamente il concetto temporale! [PATH FOLLOWING]. La TRAIETTORIA inve