appunti di matematica finanziaria

Matematica finanziaria

Matematica finanziaria è una disciplina che fornisce gli strumenti matematici necessari per trasferire somme monetarie nel tempo.

I principali operatori sono:

• La disponibilità del capitale nel tempo
• L'accumulazione ad un medesimo istante di capitali disponibili in tempi diversi

Definizione di capitale

Il capitale è uno dei 5 fattori della produzione definibile come una quantità di risorse sottoposte al consumo per essere accresciute di nuova ricchezza.

Nella terminologia finanziaria il capitale assume due distinti significati: valore finanziario (credito)corrispondente ad importo, in un verso riconducibile a diverse forme di capitale differenziato (immobili, mobilizzazioni finanziarie ecc.)

Interesse

Interesse è il prezzo d'uso del capitale generalmente dato da

I = C₀ * r * t

• C₀: capitale investito
• R: saggio di interesse
• T: tempo

r è il prezzo d'uso dell'unità di capitale nell'unità di tempo espresso generalmente in termini percentuali (%):

Interesse semplice e composto

Semplice: quando l'importo corrispondente non diviene a sua volta fruttifero di nuovi interessi.

Composto: quando l'importo corrispondente diviene fruttifero di nuovi interessi.

Continui e discontinui

Continui: quando gli interessi maturati sul capitale diventano fruttiferi di nuovi interessi calcolati su intervalli continui prestabiliti.

Discontinui: quando gli interessi maturati sul capitale diventano fruttiferi di nuovi interessi ad intervalli prestabiliti di tempo.

1° operazione: trasferimento di capitale nel tempo

Si definisce rendita un capitale disponibile oggi (disponibile all'attualità) trasferito nel futuro, il cui valore è il

Matematica finanziaria

È una disciplina che fornisce gli strumenti matematici necessari per trasferire somme monetarie nel tempo.

I principali operatori sono:

• Trasferimento di capitali nel tempo
• Rendimenti di un medesimo insieme di capitali disponibili in tempi diversi

Definizione di capitale

Il capitale è uno dei 5 fattori della produzione definibile come [...] alla fine del periodo [...] di riscossione e al consumo per essere reintegrato.

Interesse è il prezzo d’uso del capitale, generalmente dato da:

I = C₀ . r . t

• C₀: capitale iniziale
• R: saggio di interesse
• T: tempo

r è il prezzo d’uso dell’unità che capitali nell’unità di tempo espresso generalmente in termini percentuale (%), l’interesse è del

Semplice e composto

Interesse

Semplice quando l’importo corrispondente non diviene a sua volta fruttifero di nuovi interessi.

Composto quando l’importo corrispondente diviene fruttifero di nuovi interessi.

Continuo quando gli interessi maturano sul capitale, derivano fruttifero di molti intervalli contabilizzati per istante.

Discontinuo quando gli interessi maturano sul capitale derivano fruttifero di molti intervalli al termine portatore di tempo.

1° operazione: trasferimento di capitale nel tempo

Si definisce rendita un capitale disponibile oggi, disponibile all’attualità, trasferito nel futuro nel suo duro, [...]

Valore attuale cioè un capitale disponibile nel futuro e trasporto nell'attualità

Ragioniamo adesso considerando l'interesse semplice e produrremo al calcolo del montante nei diversi anni.

• Al 1° anno sarà uguale al capitale iniziale più gli interessi che maturano sul capitale

M₁ = C₀ + C₀ · i · t = C₀ (1 + i · t)

• Al 2° anno sarà uguale al montante del 1° anno più gli interessi che maturano su C₀, essendo gli interessi semplici vanno trasporto sempre al capitale iniziale. Ovvero avremo che:

M₂ = M₁ + i = C₀ (1 + i) + C₀ i = C₀ + C₀ i + C₀ i = C₀ (1 + 2i)

Dopo n anni il montante sarà pari a

M_nn = C₀ (1 + n · i)

dove (1 + n · i) è definito coefficiente di posticipazione consente di trasportare un capitale iniziale ad un tempo n. Dunque conoscendo il saggio dei interessi (i) posso sempre conoscere il valore del montante all'anno n.

Invece se volessi conoscere il valore attuale conoscendo M_nn avrò che:

C₀ = ^M_nn/_{(1 + n · i)}

dove ¹/_{(1 + n · i)} viene definito coefficiente di anticipazione e consente noto il montante ed iis iconoscere il valore attuale

Ovvero se fra 10 anni mi servono 50.000 € (quello è il mio montante e voglio sapere quanto devo investire ora) sapendo che i = 4% posso facilmente è calcolato con questa formula

C₀ = ^50.000/_{1 + (10 · 0.04)}

Volendo descrivere su un grafico quanto detto, possiamo avere una temporalità che va da 0 ad n

per trasporto da O ad N uso il coeff. di posticipazione

per tra n a 0 uso il coeff. di anticipazione

^{(1 + n · i) 1}/_{(1 + n · i)}

_{O n}

Interesse composto

Se invece consideriamo l'interesse composto:

Dopo un anno l'espressione è la stessa in quanto non sono maturati ancora interessi:

C₁ = C₀ ⋅ (1 + i)

Al secondo anno il debito sarà pari al montante del 1° anno più gli interessi che però qui avranno uguali ad i ⋅ C₁. Quindi con l'interesse composto gli interessi si sommano e fruttano nuovi interessi

C₂ = C₀ ⋅ (1 + i) ⋅ i = C₀ ⋅ (1 + i) ⋅ i = C₀ ⋅ (1 + i)²

dopo "n" anni sommando gli interessi composti avremo che:

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

Si definisce binomio di interesse e si indica con q la somma del capitale unitario più i

q = 1 + i

C_n = C₀ ⋅ qⁿ

qⁿ è il coefficiente di capitalizzazione

ognioventa se dessi il valore attuale dovrei fare la formula inversa

C₀ = C_n / qⁿ

dove 1 / qⁿ è il coefficiente di anticipazione

Graficamente:

Asumulazione

Si intenda la somma finanziaria esalata in un determinato istante di importi positivi o negativi che si rapporta per un certo numero di anni in resta esalata.

La assimilazione possono essere di 3 tipi:

• Finale quando tutti gli importi sono riportati all'istante iniziale (0)
• Iniziale quando tutti gli importi sono riportati all'anno finale (n)
• Intemporale quando tutti gli importi sono riferiti ad un tempo intermedio tra 0 e un №

Gli importi monetari vengono detti:

• Annuali se riferiti all'anno
• Periodici se agli istanti temporali diversi dall'anno

Le annualità si possono distinguere in base

Entrata in

• Constanti quando l'importo non si modifica per i vari intervalli di tempo
• Variabili quando l'importo non si modifica per i vari intervalli di tempo

Uscita in

• Annuale
• Semestrale
• Semestrale (S)
• Istante verso temporale quanto
• Istante verso temporale infinito
• Infinito (∞)
• Potoestrapolate (anticipate) (ad iniziare) (_{a posticipate o fine anno})

L'annualità costante, limitata, posticipata

Avremo A costante se gli importi sono uguali alla fine di un periodo

Avremo A posticipata se facciamo riferimento ad un numero finito di anni

Quindi l'accumulazione finale An sarà:

Per ottenere la somma di una serie di annualità alla fine dell'anno o annualità abbiamo dovuto riportare con il coefficiente di posticipazione ogni una del numero di queste annualità al tempo del progetto di cui compendiamo le indennità differite.

Da cui:

a a a^(n-1) a⁽ⁿ⁾+1aQ⁽ⁿ⁾+1