Appunti di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati parte A

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Appunti presi in classe del corso di IMAD A di Ingegneria informatica dell'Università di Pavia, svolto nell'anno 2020-2021 e tenuto dal prof. Giuseppe De Nicolao. Appunti basati su …

Esame Identificazione dei modelli e analisi dei dati

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. De Nicolao Giuseppe

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2020-2021

66 pagine

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IMAD 29-9-20: modelli

Modello: entità più semplice usata a sostituzione della realtà.

Modello matematico: relazioni che descrivono quantitativamente le relazioni tra alcune grandezze di un fenomeno.

Trovare modelli matematici

Usando leggi fisiche → modellizzazione a scatola trasparente (white box).
A partire dai dati → modellizzazione a scatola nera (black box).
Approccio intermedio → conosco leggi fisiche ma non alcuni parametri.
Uso dei dati sperimentali per determinare parametri → modellizzazione a scatola grigia (grey box).

Alcune piccole variazioni (per non complicare troppo un modello) possono descriverle tramite variabili casuali.

Probabilità

Classica.

Esperimento casuale evento A. N = casi possibili N_A = n. casi favorevoli ad A.

n ripetizioni dell'esperimento. m = n. volte che si verifica A.

P(A) = _m/_n, n → ∞.

P(A) = lim m.

Frequenza relativa.

Assiomatica (Kolmogorov)

È un insieme > 0 che rispetta certe regole:

P(A) > 0.
P(evento certo) = 1.
A e B si escludono a vicenda → P(A+B) = P(A) + P(B).

Per trattare i casi reali si fanno ipotesi per assurdo.

Soggettiva (Bayesiana)

Misura del grado di fiducia individuale (degree of belief) riguardo al verificarsi di un evento.

IMAD 29-9-20: modelli

Modello: entità più semplice usata a sostituzione della realtà.

Modelli matematici: relazioni che descrivono quantitativamente le relazioni tra alcune grandezze di un fenomeno.

Trovare modelli matematici

Usando leggi fisiche → modellizzazione a scatola trasparente (white box).
A partire dai dati → modellizzazione a scatola nera (black box).
Approccio intermedio → conosco leggi fisiche ma non alcuni parametri.
Uso i dati sperimentali per determinare i parametri → modellizzazione a scatola grigia (grey box).

Alcune piccole variazioni (per non complicare troppo un modello) posso descriverle tramite variabili casuali.

Probabilità

Classica.

Esperimento casuale evento A. N = esiti possibili. N_A = esiti favorevoli ad A.

P(A) = _{N_A}/_N.

Frequenza relativa.

n ripetizioni dell'esperimento. m_n = volte che si verifica A.

P(A) = lim_n→∞m_n/_n.

Assiomatica (Kolmogorov)

È un insieme > 0 che rispetta certe regole:

P(A) ≥ 0.
P(evento certo) = 1.
A e B si escludono a vicenda ⇒ P(A+B) = P(A)+P(B).

Per trattare i casi reali si fanno ipotesi per assurdo.

Soggettiva (Bayesiana)

Misura del grado di fiducia individuale (degree of belief) riguardo al verificarsi di un evento.

Assiomi di probabilità

La probabilità è definita su insiemi.

Insieme Ω (S) degli esiti di un esperimento casuale (spazio universo o spazio degli esiti).

Insieme F (F) degli eventi: è un insieme di sottoinsiemi di S che godono di due proprietà:

A∈F ⇒ Ā∈F.
(A∈F) AND (B∈F) ⇒ (A+B)∈F.

Conseguenze di (1) e (2):

(A∈F) AND (B∈F) ⇒ (Ā∈F) AND (B∈F) ⇒ (Ā+B)∈F ⇒ (Ā+B)∈F ⇒ ĀB∈F.

Eventi disgiunti: non possono verificarsi simultaneamente (incompatibili).

Evento certo: si verifica sicuramente.

Evento impossibile: insieme vuoto: ∅.

Unione (somma) di eventi: l'evento che si verifica se si verifica almeno uno degli eventi.

Intersezione (prodotto) di eventi: C=AB è l'evento che si verifica se si verificano sia A che B.

Evento negato: B=A si verifica sse non si verifica A.

Oss.: F deve essere chiuso rispetto alle operazioni di complemento e unione, quindi deve sempre contenere ∅ e S.

Definizione assiomatica di probabilità

P(.) : F → [0,1], è una qualsiasi funzione che ad ogni evento A∈F associa in numero reale P(A) in modo tale che:

P(A) ≥ 0.
P(S) = 1.
AB = ∅ ⇒ P(A+B) = P(A) + P(B) (proprietà di additività semplice).

IMAD 5-10-20

Corollari

P(A) = 1 - P(A) ≤ 1.
P(∅) = 0.
B ⊂ A ⇒ P(B) ≤ P(A).
A₁, A₂, ... A_n disgiunti.
P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁) + ... + P(A_n).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) ≤ P(A) + P(B).

Spazi con infiniti risultati

Spazi con infiniti risultati (ordinalità infinita).

Suppongo che Ω ◃ subdsi: 2° _i=1 ⋃ A_i = Ω.

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