Appunti di Geometria UniGe (Catalisano)

Geometria

Indice

• Numeri complessi
• Polinomi
• Matrici
• Sistemi lineari
• Spazi vettoriali
• Trasformazioni lineari
• Diagonalizzazione
• Geometria nello spazio
• Coniche

Numeri complessi

2√i= i−1 =−1→ z=a+ib a, b ∈R

Forma cartesiana: con a parte reale e b parte immaginaria. Ed è (a,b) il punto corrispondente del piano cartesiano.

' ' ' ' ' ' ' '( ) ( ) ( ) ( )z+ z a+a b+b z z a a b a b b= +i = −b +i +a

Proprietà: e z=a+ib → ź =a−ib

Coniugato: ́ ́ ́ ́z+ z ' z z ' e zz '=́z z '=́ +

Proprietà: √ 2 2∣ ∣z a b= +

Modulo: è la distanza del punto dall'origine.

z ρe∣ ∣ z=ρ(cos= ϑ=argomento ϑ +isin ϑ)

Forma polare: →'( ϑ+ ϑ ) 1 1 sin z= (cos ϑ+i ϑ) ́cos( ' =ρ(cos ϑ +isin ϑ)ϑ + ϑ )+isin

Proprietà: , ,z ρzz '= ρρ ' ¿iϑe isin=cos ϑ+ ϑ

Forma esponenziale: → Formula di Eulero iϑz=ρ cos sin ρ e( )=ϑ+i ϑ 1 1 −iϑen n inϑ −iϑ∣ ∣ =z ρez e ==ρ

Proprietà: , , z ρnz ha esattamente n soluzioni=a

Formula di De Moivre: ( )ϑ +2kπiniϑ n√Basta porre a=ρe e≤z, …, z soluzioni si trovano facend o z ρ e=0 n k−1

Polinomi

n n−1P( z)=a z a z z+ a+ +...+a

Un generico polinomio è n n−1 1 0a ≠ 0

Con il grado (deg) del polinomio è il maggior esponente n della z. 0 deg ≥ 1

Teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio con ha almeno una radice.

mSe P(α)=0 quindi α è radice, m è la molteplicità di α se P(x) è divisibile per (x-α) mam+1 1≤ m≤ deg P( )non per (x-α) . Le radici di molteplicità 1 sono dette semplici.

R ά ¿=0Se in (insieme dei polinomi a radici reali) ho che P(α)=0 allora anche P([ ]x

Matrici

Una matrice è una griglia di numeri formata da m righe ed n colonne → →mxna a( )11 1na am1 mn

A B con c+ =C =a +b

Somma: mxn m xn mxn ij ij ijA B =C

Prodotto: colonne di A = righe di B e C ha righe di A e colonne di B mxn nxk mxk c b a b b=a + +a

Prodotto righe per colonne: Es: in una 3x3 e così via...11 11 11 12 21 13 31

Proprietà: A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), AB BA, (AB)C=A(BC), (A+B)C=AC+BC

Matrice trasposta: è la matrice A con righe e colonne scambiate (riga 1 in colonna 1 e così via) ( )a ba( )

Determinante: Se allora det=a, se allora det=ad-bc. Se la matrice è più c d grande utilizzo il metodo di Laplace cioè scelgo una riga o colonna (quella con più zeri) e faccio ad esempio:

( )a b c ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣e f d f d e→det c=a −b +d e f se la somma degli indici di posizione è pari h i g i g hg h ilascio il segno invariato, se è dispari cambio segno (viene a segni alterni).

1T −1det A A( )=det ( ) A ¿

Proprietà: (AB)=detA detB, det( = det( A)A k B

Caratteristica/rango: ha rango pari a se esiste una sottomatrice con una kxk sxs sdet ≠ 0 >k(B)dimensione, ossia se e tutte le altre sottomatrici con . Si indica come ρ(A).

Minore di una matrice: è il determinante di una sottomatrice quadrata.

Rango determinante

a≠ 0 a≠ 0

Moltiplico una riga o colonna per → Moltiplico una riga o colonna per → non cambia si moltiplica il determinante per si moltiplica ail determinante per

Scambio 2 righe o 2 colonne → non cambia Scambio 2 righe o colonne → il determinante cambia segno

Sommo ad una riga una combinazione Sommo ad una riga una combinazione lineare delle altre → non cambia lineare delle altre → non cambia

Se una riga o colonna è nulla → det=0

Se una riga o colonna è combinazione lineare delle altre → det=0

Matrice inversa

AMatrice inversa: matrice quadrata. Definisco matrice inversa nxn−1 −1 −1A tale che A A= A A =I 1−1A≠ 0 ¿=

Proprietà: A è invertibile detA, (det detA⇔ ≠

Calcolo matrice inversa tramite i minori: se detA 0, calcolo tutti i minori della matrice A (scelgo un elemento per volta e faccio il minore, con il relativo segno). Poi creo la matrice 1 T−1A M=dei minori M, la traspongo e ho che detA ≠

Calcolo matrice inversa tramite la riduzione dell'identità: se detA 0, scrivo ( )a b c 1 0 0∨d e f 0 1 0 . Riduco a scala la prima applicando poi le stesse operazioni g h i 0 0 1 sull'identità. Quando la prima si trasforma nella matrice identità, la seconda è diventata la matrice inversa.

Sistemi lineari

n m Associabili a matrici, sono sistemi in equazioni e incognite.

{ a x x x ( )a a+a +...+a =b ⋯ b( )x( )11 1 12 2 1m m 1 11 1m 1=... y ...⋮ ⋱ ⋮→ e si scrive Ax=ba x x a x a a z b+a +...+ =b ⋯n1 1 n2 2 nm m m n1 nm ńA=matrice omogenea A=matrice completa o matrice orlata, ́A

Teorema di Rouchè-Capelli: un sistema lineare ha soluzioni rango(A) = rango( )⇔d∞ soluzioni con d=n incognite( )−ρ(rango)

Il sistema, se si può risolvere, ha

Spazi vettoriali

C RUn insieme di elementi è detto spazio vettoriale (sul campo o ) se: e x per scalare( )∃+interni a+b=b+ a a+(b+ c)=(a+b)+ c ∃, , , 0 elemento nullo per la somma, opposto→ (−a )∃elemento ∃−a∨a+ =0, α(a+b)=αa+αb, (α+β)a= αa+βa, 0v=0(vettore nullo)

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori.

3 v v x x, y y, z za + =( + + + )⃗RV= , (x, y ,z) → e αv=(αx, αy, αz)1 2 1 2 1 2 1 2⃗0 =(0, 0, 0)v v, …, v vettori sono