Appunti di Geometria

Geometria algebra lineare

Introduzione

Lo studio delle quattro operazioni e risoluzioni di equazioni.

Due metodi principali per risolvere:

• Sostituzione: trovare una incognita nella prima equazione e sostituire il risultato nell'altra equazione.
• Confronto.

Esiste almeno una soluzione, allora le equazioni sono compatibili (se è compatibile con tutte).

Se è compatibile ma c'è una sola soluzione, due possibilità:

• Una sola soluzione.
• Infinite soluzioni.

Perché rappresenta 3 rette in un piano.

Deduciamo che i sistemi lineari (di equazioni) lineari rappresentano oggetti geometrici (punti, rette, piani e l'uso analogico tridimensionale) geometria multidimensionale.

N.B. Sistemi lineari possono essere compatibili determinato o indeterminato.

Es. ax = b, a, b ∈ Q.

Numeri

N, Z, Q (quotienti di numeri interi) numeratore e denominatori diversi da 0 (possono essere positivi e negativi) per α ∈ R (numeri reali).

Funzioni

f: D → Y associamo ad ogni elemento d ∈ X un elemento y ∈ Y detto immagine.

Dominio.

Molto importante: la composizione si ha due funzioni f e g il dominio della prima è uguale al dominio della seconda allora posso fare la composizione tra le due.

p°f.

(p°f)(x) = p(f(x)).

Molto importanti sono le identiche il dominio coincide con il codominio.

Operazioni tra insiemi

Sono tre:

• Unione (tutti elementi che stanno in elemento e insieme).
• Intersezione (elementi che stanno in entrambi gli insiemi).
• Prodotto cartesiano (prodotto tra due insieme, insieme di tutte le coppie)...

Geometria algebra lineare

Introduzione

Lo studio delle quattro operazioni e risoluzione di equazioni.

• Sostituzione.
• Confronto.

Se una incognita nella prima equazione e sostituire il risultato nell'altra equazione.

Se esiste almeno una soluzione, allora le equazioni sono compatibili (se l'insieme delle soluzioni non trova contraddizioni).

Deduciamo che i sistemi lineari (di equazioni) lineari rappresentano oggetti semantici (punti, rette, piani e il loro analogo tradizionale).

Numeri

N, Z, Q (numeri interi positivi e negativi) possono essere rappresentati da una porzione delle loro rispettive proprietà, per Q ∈ R (numeri reali).

Funzioni

f: X → Y associare ad ogni elemento di X un elemento di Y (domini e codomini).

Molto importante è la loro composizione. Le due funzioni g ∘ f con g: Y → Z. Il dominio della prima è uguale al codominio della seconda. Posso fare la loro composizione (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Molto importanti sono le funzioni identiche. Il dominio coincide con il codominio.

Operazioni insiemi

Sono tre:

• Unione (tutti elementi che stanno in almeno un insieme).
• Intersezione (elementi che stanno in entrambi gli insiemi).
• Prodotto cartesiano (prodotto tra due insiemi, insieme di tutte le coppie).

Algebra lineare

Definizione di campo

Definizione: un campo (notato K, è una tripletta (K, +, ·), dove + è l'addizione e · è la moltiplicazione, e hanno 6 seguenti proprietà:

K × K → K (x, y) → x + y.

K × K → K (x, y) → x · y.

Proprietà

Addizione ha quattro proprietà: 4 assiomi.

• Associativa x + (y + z) = (x + y) + z.
• Commutativa x + y = y + x.
• Neutro (esiste 0: elemento neutro dell'addizione).
• Sottrazione 8 ha sempre un qualcosa che annulla un dato elemento. (esiste è unico) x + x' = 0 dove x = -x.

Moltiplicazione ha quattro proprietà:

• Associativa x(y · z) = (x · y) · z.
• Commutativa x · y = y · x.
• Neutrale (esiste 1: elemento neutro -1).
• Divisione x ha sempre un qualcosa che moltiplica per x dà 1 (esiste è unico) x · x^-1 = 1 dove x^-1 = 1/ x.

Oltre a queste bisogna introdurre distributiva (relazione tra le due operazioni) ∀ x, y, z ∈ K x(y + z) = xy + xz.

Conseguenze degli assiomi

1. 0 · x = 0: zero moltiplicato per qualsiasi cosa fa zero.
2. xy = 0 ⇒ x = 0, y = 0 se un prodotto vale zero; allora uno dei due fattori vale zero.

Teoria delle equazioni lineari

Teoria delle equazioni lineari (ha coefficienti su un campo) esempio numeri arbitrario di equazioni e di incognite.

{ x₂ + q₁₂y + q₁₃z = b₁2x