Appunti di Controlli Automatici (6 CFU)

Controlli automatici

Quick recap

Come da automatica, lo schema base è quello formato da:

• Controllore
• Attuazione
• Impianto
• Trasduttore

L’impianto è il sistema da controllare (braccio robotico, sistema idraulico, elettrico…). La y è l’uscita da controllare (controllare: imporre un andamento desiderato al valore dell’uscita, per esempio un angolo al braccio robotico). La y_0 è l’uscita desiderata, ovvero il valore che vogliamo raggiungere. Va da sé che quindi vorremo: 0 ()() ≈ → . Cioè l’uscita dell’impianto y sia il più vicina possibile al valore desiderato.

Il controllore è il blocco da progettare per risolvere il Pb di controllo. L’impianto è assegnato quasi sempre tramite una relazione matematica, il controllore è quello da creare.

Il trasduttore sta nel ramo di retroazione, quello che prende l’uscita misurandola e la riporta all’inizio. Si chiama trasduttore in quanto la y avrà una sua unità di misura (T, angolo, velocità) ma il trasduttore non solo misura ma trasduce l’unità di misura suddetta in una elettrica con cui operano i sistemi. Il trasduttore fornisce la misura dell’uscita y.

L’attuatore invece attua il segnale generato dal controllore: chiamata y_m l’uscita del trasduttore (y misurata), questa si confronta con l’uscita desiderata dando l’errore. Questo entrerà nel controllore dando un segnale di uscita v (sempre elettrico), u (uscita dell’attuatore) sarà per esempio una coppia in un braccio robotico, una pompa di calore in un impianto termico… In generale serve un blocco che trasforma il segnale in tensione/corrente in uscita dal controllore in un’azione effettiva (in coppia/flusso termico…), ovvero fornisce il comando u per l’impianto.

Attuazione, impianto e trasduttore sono spesso assegnati.

Obiettivi del corso

Si comincerà, come programma di corso, da introduzione e richiami. Si passerà poi alla stabilità di sistemi di controllo in retroazione e stabilizzazione, alle tecniche di sintesi diretta successivamente ai sistemi a dati campionati e infine al problema del regolatore.

La penultima voce significa che mentre l’impianto è a tempo continuo (TC), ovvero le variabili d’ingresso ed uscita e anche quelle interne del sistema sono definite in ogni istante di tempo, il controllore è invece a tempo discreto (TD). Un sistema a dati campionati comprende quindi blocchi TC e blocchi TD, ciò cosa comporta? Lo vedremo, ma in generale dovremo capire come si digitalizza un controllore progettato in TC.

Il regolatore è invece un particolare controllore. L’impianto lo abbiamo sempre disegnato come ingresso u e uscita y, ma dentro l’impianto potrei avere tantissimi altri segnali (condensatori, induttori…) che sono considerati come la variabile di stato del sistema x, ovvero stiamo parlando di una rappresentazione ISU (ingresso/stato/uscita). Il regolatore, sulla base della conoscenza di u e y, genera internamente una stima dello stato x̂ e sulla base di esso genera il segnale di controllo. È solo un controllore particolare che ha questo schema: sulla base della stima si genera il segnale di controllo 0 ()() ≈ con l’obiettivo sempre di imporre.

Caratteristiche e proprietà della funzione di trasferimento

L’impianto lo schematizzeremo come un ingresso (u) e un’uscita (y).

L’ingresso si assume spesso nullo prima di t=0 e con un certo andamento per t>0.

Considereremo sistemi LTI (Lineari Tempo Invarianti) a dimensione finita e CAUSALI. Ovvero possiamo sempre trovare una relazione causa-effetto tra ingresso e uscita, lineare vuol dire che tale relazione è lineare, TI vuol dire che le caratteristiche del sistema non variano nel tempo, “a dimensione finita” vuol dire che il numero di elementi “con memoria” nel sistema è un numero finito.

L’ipotesi che faremo è che i segnali d’ingresso u che tratteremo siano trasformabili secondo Laplace: +∞ −∃ [] = ∫ () = () . 0

Sotto questa ipotesi l’uscita y è scrivibile o nel dominio del tempo: (ℎ() = ∫ ( − ) ∗ () = è . ) = ()⨂ () 0

Dove g(t) è la risposta impulsiva del sistema, ovvero la risposta del sistema per u(t)=δ(t).

Questa relazione vale solo per questi sistemi LTI a dimensione finita causali.

Se conosco la risposta impulsiva del sistema (risposta a un segnale d’ingresso impulsivo, ovvero un gradino in t=0 che poi togliamo subito), misurabile sperimentalmente, e il sistema è con quelle ipotesi ecco che la y (risposta a ogni altro segnale d’ingresso trasformabile con Laplace) la ottengo con la convoluzione.

Per questi sistemi LTI-dim.fin-causali la g(t) è trasformabile secondo Laplace: ∃ [()] = () . . Questa G(s) è una funzione razionale fratta per i nostri sistemi: −1 + + ⋯ + + −1 1 0() = −1 + + ⋯ + + −1 1 0

Dove il grado del denominatore è maggiore o uguale di quello del numeratore (G(s) è “propria”).

Che legame c’è quindi tra trasformata dell’ingresso e dell’uscita? Si ha che: [] = () = () ∗ ()

Cioè la trasformata dell’uscita è data dal prodotto tra G(s) (trasformata della risposta impulsiva) e la trasformata dell’ingresso, questo vale solo per i sistemi con le ipotesi dette prima. G(s) prende il nome di funzione di trasferimento. Il sistema rappresentano con G(s) con suddette caratteristiche (razionale fratta propria) gode di alcune proprietà ma sicuramente sappiamo che è un sistema LTI-dim.fin.-causale.

Con queste nozioni possiamo rappresentare un sistema LTI a dimensione finita e causale come:

Esercizio: circuito RC

Si ha come ingresso la tensione u e come uscita la tensione y ai capi. Vogliamo la G(s) di questo sistema. = + , = ẏ

Abbiamo che inoltre sappiamo anche che:

Quindi possiamo scrivere: 1 1() = ẏ + → ẏ + () = () Possiamo imporre come condizione iniziale: y(0)=0. Per ottenere la G(s) quindi come si fa? Si ha che è pari al rapporto tra Y(s) e U(s). 1 1 1 1] + ] = ] → [ẏ + ] = ][ẏ [ [ [

La trasformata della derivata con condizione iniziale nulla è nota: 1 1 1 1 ∗ [] + ∗ [] = ∗ [] → ( + ) [] = ∗ [] () 1 () = → () =() + 1

Che rientra nella definizione generale di G(s) data inizialmente. In particolare n (ordine della funzione di trasferimento, pari all’ordine del denominatore) è uguale a 1 e ciò quadra in quanto si ha un solo elemento capace di immagazzinare memoria (il condensatore);

La risposta impulsiva invece quanto vale? Se G(s)=1/(RCs+1) possiamo trovare g(t) antitrasformando e notando che G(s) non ha zeri e ha un polo in -1/RC. In genere ricorda che se hai una G(s) fatta come: −1 ()() = → → () = −

Ovvero al costante al numeratore dà il coefficienti dell’esponenziale e il polo dà l’esponente dell’esponenziale. Applicando questa regolina si ha che: 1 −−1 () = () = Tornando alla G(s) notiamo che il polo è reale negativo (-1/RC), quindi come risponde all’impulso questo sistema? L’impulso ideale si può rappresentare come una freccia che per in un istante infinitesimo raggiunge infinito e torna giù. La risposta è quella funzione: in 0 vale -1/RC e da lì decresce esponenzialmente. Fisicamente succede che questo condensatore si carica istantaneamente e poi il sistema si spenge lentamente con costante di tempo pari a RC (tanto maggiori R e C e più lenta sarà lo spengimento). Si ha questo andamento a zero in quanto il polo è negativo, se fosse stato positivo avresti avuto un andamento a infinito invece che a zero.

Infatti puoi in generale vedere come per a>0 il comportamento sia divergente (esponenziale positivo) e per a=0 il sistema non vari: il valore di a è quello del polo.

Nei sistemi di controllo noi vogliamo sempre la convergenza a zero, le G(s) dovranno avere i poli a parte reale minore di zero.

Esercizio 2: circuito RC con ingresso costante

Una volta nota la G(s) posso trovare la risposta a qualunque ingresso trasformabile moltiplicando G per U, se quindi ponessi un ingresso a gradino costante?

Con funzione di trasferimento: 1() = 1 + Ma in ingresso diamo un gradino: segnale pari a zero che poi diventa costante pari ad A in t=0. Quanto vale y(t) adesso? Il procedimento è banale, si calcola U(s) e la si moltiplica per G(s). La trasformata del gradino di ampiezza A è pari ad A/s. 1 () = () ∗ () = ∗1 +

Possiamo antitrasformarlo? Il denominatore è di grado 2, i poli sono distinti e quindi è scrivibile come sommatoria di fratti semplici: 1 2() = +1 + Dove i coefficienti si calcolano per esempio col metodo dei residui: 1 = lim ( + ) () = −1 1s→− RC = lim ∗ () = 2 s→0

Quindi possiamo scrivere in definitiva: − −−1 [()]() = = − + = (1 − ) Quindi se pongo un gradino il condensatore si carica finché la corrente va a zero ovvero si carica a una tensione pari a quella dell’ingresso.

È interessante notare che quando si ha una funzione razionale fratta (in questo caso G(s) del secondo ordine → 2 fratti semplici) l’andamento dei segnali che si ottiene è determinato dalla posizione dei poli della FdT stessa.

In generale se hai una G(s) generica: −1 + + ⋯ + + −1 1 0() = −1 + + ⋯ + + −1 1 0

Come si scrive la g(t)? Ricorda che i fratti semplici funzionano solo se il numeratore ha grado inferiore. Quindi la prima cosa che si fa è dividere questi polinomi ottenendo: −1 ∗ + ⋯ + ∗ + −1 1 0= + ( > → . ) −1 + ∗ + ⋯ + ∗ + −1 1 0 −1 ∗ + ⋯ + ∗ + −1 1 0−1 −1 −1[()] [ ]() = = + [ ] ( ) ( )− … − 1

Ipotizzando che i poli siano distinti ovvero ogni polo ha molteplicità algebrica 1 (p_i =/= p_j) possiamo scrivere l’antitrasformata. Il primo termine ha come trasformata b_n e ciò si ha per il termine impulsivo (la trasformata dell’impulso è unitaria), la seconda antitrasformata possiamo scriverla tramite i fratti semplici in quanto ora i gradi non sono più uguali e la FdT è propria. 1 −1() = () + + ⋯+[ ] ( )− − 1

In definitiva la risposta impulsiva di un sistema LTI stazionario, causale, a dimensione finita è fatta da un termine impulsivo (presente solo il grado di numeratore e denominatore è lo stesso), in più si ha una combinazione di esponenziale dove gli esponenti sono i poli della FdT: ∗ ∗( ) ( )= + + ⋯ 1 2 1 2

Nel caso di molteplicità superiore i coefficienti β sono moltiplicati per la variabile t stessa con un grado dipendente dalla molteplicità.

Capisci dalla formula sopra come nel caso di una perturbazione dovuta a un impulso ci dovranno pensare i termini esponenziali a ristabilizzare il sistema.

Studio del caso senza poli distinti

Ripartiamo ora dalla scrittura della FdT, in particolare dal secondo termine della forma: −1 ∗ + ⋯ + ∗ + −1 1 0() = + −1 + ∗ + ⋯ + ∗ + −1 1 0

Che scriviamo come: −1 ∗ + ⋯ + ∗ + −1 1 0 ( ) ( )− … − 1 1

Gli apici n1 e n_r sono le molteplicità del polo. Abbiamo r poli (distinti se vogliamo fare l’ipotesi di p_i diverso da p_j per ogni i diverso da j). Se n=r allora tutti i poli sono semplici, se n<r allora alcuni poli non sono semplici (ma doppi, tripli…). In generale n≤r. + + ⋯ + = 1 2

La risposta impulsiva si può allora scrivere come: −1 ( )() = ∑ ∑ ∗ =1

Quindi si ha sempre il termine esponenziale che ha come esponente il polo p_i della FdT, questi sono moltiplicati per dei fattori che sono polinomi: se un polo è semplice allora m_i=1 non si ha sommatoria interna. ( ) = 1 = 1 … : ( ) ∑= ̅ ∗ =1

La risposta impulsiva è sempre caratterizzata da degli esponenziali i cui esponenti sono i poli e dei coefficienti che possono essere costanti oppure polinomi nel tempo con grado massimo pari alla molteplicità del polo meno 1.

Convergenza di g(t) con poli a Re<0

Vediamo una proprietà della g(t): se i poli hanno tutti parte Re minore di zero allora la risposta impulsiva converge a zero.

Quindi nel piano complesso sono posti come nella figura.

Ricordiamo che: −1 ( )() = ∑ ∑ ∗ =1

Il generico polo p_i lo scriviamo scomponendolo in parte Re e Im: = + < 0

Consideriamone il modulo: −1 ∗ |()| = ( ∑ )|∑ | =1

Da cui sappiamo che il modulo di una somma è sempre minore o uguale della somma dei moduli, quindi: −1 ( )≤ ∑ ∑ ∗ ∗| ( )| | | =1 =0

Dove conosciamo il modulo di e^(p_it): + | | | | | |= = ∗ = ∗ 1| | | | || | = + | = 1

In quanto quindi il modulo di e^(p_it) è pari a e^(σ_it). A questo punto: −1 () ≤ ∑ ∑ ∗ ∗ | | =1 =0

Da cui: −1 ()lim ≤ lim ∑ ∑ ∗ ∗ = 0| | →∞ →∞ =1 =0

Il secondo termine è pari a 0 in quanto il termine polinomiale diverge ma quello esponenziale converge a zero, abbiamo allora dimostrato che la risposta impulsiva tende a zero quando i poli sono tutti a parte reale minore di zero (parte sx del piano complesso).

Finora ci siamo interessati a casi con un solo ingresso e una sola uscita ma i sistemi di controllo hanno molteplici ingressi e uscite.

Matrice di funzioni di trasferimento

Sistemi MIMO

Prendiamo per esempio un sistema con FdT G(s) razionale fratta propria, ingresso u, uscita z alla quale si somma un disturbo d, la somma d e z produce l’uscita y. Questo possiamo rappresentarlo come un sistema con 2 ingressi (u, d) e 2 uscite (z, y). Vogliamo rappresentare questo finto sistema, scriviamo le equazioni: = + → → () = () + () () = () ∗ ()() = () + () { () = () ∗ ()

La trasformata di Laplace dell’uscita Y è una combinazione lineare delle trasformate dei due ingressi U e D, idem per quanto riguarda Z. Se racchiudi Y e Z in un