Appunti di Analisi I

Esame di analisi I del 20.01.2021

Proposizioni

Questo esame copre vari argomenti tra cui le proposizioni e gli insiemi.

Insiemi

• Leggi di De Morgan: Importanti per la manipolazione e la comprensione delle operazioni tra insiemi.
• Operazioni tra insiemi: Comprendere come le diverse operazioni influenzano gli insiemi è cruciale per l'analisi.

Funzioni

Le funzioni sono un concetto fondamentale e includono diversi tipi:

• Iniettiva: Una funzione è iniettiva se per ogni a, b appartenenti al dominio della funzione \( f \), \( f(a) \neq f(b) \).
• Suriettiva: Una funzione è suriettiva se per ogni \( b \) appartenente al codominio della funzione \( f \), esiste almeno un \( a \) nel dominio tale che \( f(a) = b \).
• Restrizione: La restrizione di una funzione \( f|E: A \rightarrow B \), con \( E \subseteq A \), implica che \( f|E \rightarrow f: E \rightarrow B \).
• Composta: Dato \( f: A \rightarrow B \) e \( g: B \rightarrow C \), la funzione composta è \( g \circ f: A \rightarrow C \), definita come \((g \circ f)(x) = g(f(x))\).

La composizione è un'operazione associativa, e la composizione inversa è data da \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

Relazioni d'ordine e di equivalenza

• Relazioni d'ordine (RAT: Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva): Queste proprietà definiscono un insieme come parzialmente ordinato.
• Relazioni d'ordine totale: Sono caratterizzate dalle stesse proprietà RAT, ma con l'aggiunta di un elemento di comparazione per ogni coppia di elementi in \( A \).