Appunti di Analisi 2

Dipartimento di Scienze e tecnologie aerospaziali

Teoria di Analisi II (AA 2021-2022)

Dispensa che riporta quanto scritto nelle slides mostrate a lezione, mostra in aggiunta solo alcuni passaggi matematici omessi oltre ad avere un indice e la raccolta delle dimostrazioni richieste all’orale.

Professori: Maurizio Citterio, Achille Frigeri, Christian Migliavacca

Autore del file: Moscagiuri Pietro

Moscagiuri Pietro Analisi II

Indice

1 Algebra lineare 10

• 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.1.1 Somma di vettori geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.1.2 Prodotto esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.1.3 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.1.4 Definizione di spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.1.5 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 1.1.6 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 1.1.7 Lo spazio hom(V, W) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 1.2 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 1.2.1 Combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 1.2.2 Generatori di sottospazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.2.3 Dipendenza ed indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.2.4 *Base e coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.2.5 Teorema base e coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 1.2.6 *Teorema dell’esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 1.2.7 *Teorema della dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 1.2.8 *Teorema del completamento della base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 1.2.9 Somma di sottospazi e prodotto di spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . 17
• 1.2.10 Somma diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 1.2.11 Intersezione tra sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 1.3 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 1.3.1 Definizione applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 1.3.2 Lo spazio hom(V, W) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 1.3.3 *Costruzione di un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 1.3.4 *Linearità e dipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.3.5 Definizione di iniettività, immagine e suriettività . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.3.6 *Iniettività ed indipendenza + dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.3.7 Nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 1.3.8 *Iniettività e nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 1.3.9 Suriettività e immagine + dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 1.3.10 Nullità e rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 1.3.11 *Teorema nullità + rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 1.3.12 Invertibilità ed isomorfisimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 1.3.13 *Isomorfismi e dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 1.3.14 Dimostrazione formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 1.3.15 Teorema della somma diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 1.3.16 Fibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 1.4 Matrici, rango e sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 1.4.1 Applicazioni lineari da Rⁿ a R^m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 1.4.2 Applicazioni lineari e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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• 1.4.3 Composizione e prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 1.4.4 Proprietà del prodotto di matrici e la matrice identica . . . . . . . . . . . . 29
• 1.4.5 Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 1.4.6 Calcolo del prodotto di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 1.4.7 Rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 1.4.8 Calcolo del rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 1.4.9 *Rango ed invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 1.4.10 Calcolo della matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 1.4.11 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 1.4.12 *Teorema di Rouché-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 1.4.13 *Teorema di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 1.5 Il determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 1.5.1 Area con segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 1.5.2 Forme multilineari alternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 1.5.3 Determinante di un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 1.5.4 Determinante di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 1.5.5 *Teorema di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 1.5.6 *Invertibilità e determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 6 6 1.5.7 Riassunto di condizioni equivalenti a detF = 0 e detA = 0 . . . . . . . . . 39
• 1.5.8 Il calcolo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 1.5.9 Il metodo di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 1.5.10 Determinante e rango, il Teorema di Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 1.6 Teorema di rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 1.6.1 Coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 1.6.2 Matrice rappresentativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 1.6.3 Le basi canoniche, rango, immagine e nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 1.6.4 Teorema di rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 1.6.5 Cambio di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 1.6.6 Cambio di base verso la base canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 1.6.7 Matrici simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 1.7 Diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 1.7.1 Definizioni varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 1.7.2 Basi di autovettori e matrici diagonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 1.7.3 Diagonalizzabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 1.7.4 *Matrici simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 1.7.5 *Polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 1.7.6 *Equazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 1.7.7 Molteplicità algebrica e geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 1.7.8 Somma di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 1.7.9 Autovettori indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 1.7.10 Criterio di diagonalizzabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 1.7.11 Ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 1.8 Spazi Euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 1.8.1 Prodotti interni e spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 1.8.2 Ortogonalità, norma e versore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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• 1.8.3 *Il Teorema di Pitagora e il Teorema di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 1.8.4 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 1.8.5 Angolo tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 1.8.6 *Teorema della Disuguaglianza triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 1.8.7 Norma e distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 1.8.8 Base ortogonale, base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 1.8.9 *Proiezione ortogonale e distanza minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 1.8.10 Complemento ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 1.8.11 *Complemento: rango delle righe = rango delle colonne . . . . . . . . . . . 60
• 1.8.12 Coordinate di basi ortogonali e ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 1.8.13 Importanza delle basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 1.8.14 Il procedimento di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 1.9 Proiezioni, isometrie, auto-aggiunti. Il Teorema spettrale . . . . . . . . . . . . . . 62
• 1.9.1 Matrici di proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 1.9.2 Isometrie lineari e matrici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 1.9.3 Matrici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 1.9.4 Isometrie lineari del piano reale e matrici ortogonali 2 × 2 . . . . . . . . . 66
• 1.9.5 Isometrie lineari del piano reale e matrici ortogonali 3 × 3 . . . . . . . . . 66
• 1.9.6 Operatori autoaggiunti e matrici simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 1.9.7 Teorema spettrale per endomorfismi e matrici reali . . . . . . . . . . . . . 67

2 Serie numeriche 69

• 2.1 Serie convergenti, divergenti, irregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 2.2 La serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 2.3 La serie telescopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• 2.3.1 *Condizione necessaria per la convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• 2.4 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 2.4.1 Criterio del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 2.4.2 Criterio del confronto asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 2.5 Serie armoniche generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 2.5.1 Il criterio del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
• 2.5.2 Il criterio della radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 2.6 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 2.6.1 Il criterio di Liebinz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 2.7 Serie a termini di segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 2.8 Il resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 2.9 Stima della somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Serie di Fourier 82

• 3.1 Polinomi trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 3.2 Richiami sugli spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 3.2.1 Prodotti interni, norma e distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 3.2.2 Ortogonalità, Schwarz, Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 3.2.3 Teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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• 3.3 Funzioni a quadrato integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 3.4 Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 3.5 Lo spazio L²(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 3.6 Funzioni periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
• 3.7 Sottospazio finito dimensionale e la base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . 85
• 3.8 Proiezione ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 3.9 Coefficienti, somma, Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 3.10 Periodi diversi da 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 3.11 Calcolo dei coefficienti di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 3.11.1 Funzioni non simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 3.11.2 Funzioni simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 3.12 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 3.12.1 Dente di sega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 3.12.2 Onda quadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 3.13 Proprietà della proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 3.14 Convergenza in norma quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 3.15 Funzioni regolari a tratti, monotone a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 3.16 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 3.17 Esempio Dente di Sega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 3.18 Uguaglianza di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Equazioni differenziali lineari 95

• 4.1 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 4.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 4.1.2 L’operatore differenziale L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 4.1.3 Teorema di struttura dell’integrale generale dell’equazione lineare completa 96
• 4.1.4 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 4.1.5 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 4.1.6 Equazioni lineari omogenee del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 4.1.7 Equazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 4.1.8 Integrale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 4.1.9 Caso Δ > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 4.1.10 Caso Δ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 4.1.11 Caso Δ < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 4.1.12 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 4.1.13 Metodo di Somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 4.2 Teorema del metodo di somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 4.2.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 4.2.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 4.2.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 4.3 Ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 4.3.1 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 4.3.2 Equazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
• 4.3.3 Integrale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
• 4.3.4 Metodo di somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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5 Sistemi di equazioni differenziali lineari 104

• 5.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.2.1 Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy . . . . . . . . 104
• 5.2.2 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 5.2.3 Teorema di struttura integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 5.3 Osservazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 5.4 Sistemi omogenei a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
• 5.4.1 Corollario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
• 5.4.2 Il caso 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 107

• 6.1 Basi della topologia di Rⁿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 6.1.1 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 6.1.2 Lo spazio metrico Rⁿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 6.1.3 Intorno sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 6.1.4 Aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 6.1.5 Intorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 6.1.6 Punti interni, esterni, di frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 6.1.7 Punti di accumulazione, punti isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 6.1.8 Interno di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 6.1.9 Frontiera di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 6.1.10 Chiusura di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 6.1.11 Recap insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 6.1.12 Insiemi limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 6.1.13 Insiemi connessi (per archi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 6.1.14 Sfere e dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 6.1.15 Estensione e restrizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .