Appunti della Lezione 4 - Stabilità dell'equilibrio

Appunti della lezione 4

Stabilità dell’equilibrio

• Teoria di Eulero: Asta perfetta/ideale pag. 1
• Asta reale:
• Imperfezioni geometriche pag. 7
• Eccentricità pag. 10
• Tensioni residue pag. 12
• Imperfezione iniziale equivalente pag. 13
• EC 5.5 Resistenza delle membrature all’instabilità
• Colonne composte in acciaio
• Colonna reticolare/tralicciata pag. 22
• Asta calastrellata pag. 26
• EC 5.9 Membrature composte in compressione pag. 30
• Aste pressoinfless pag. 39
• NTC2008
• EC 5.5.4 Flessione e compressione assiale

Appunti della lezione 4

Stabilità dell’equilibrio

Teoria di Eulero: Asta perfetta/ideale pag. 1

Asta reale:

• Imperfezioni geometriche
• Eccentricità
• Tensioni residue pag. 7
• Pag. 7
• Pag. 10
• Pag. 12
• Imperfezione iniziale equivalente pag. 13

EC 5.5 Resistenza delle membrature all’instabilità

• Colonne composte in acciaio
• Colonna reticolare/tralicciata
• Asta calastrellata
• EC 5.9 Membrature composte in compressione pag. 22
• Pag. 26
• Pag. 30
• Aste pressoinflesse pag. 39
• NTC2008
• EC 5.5.4 Flessione e compressione assiale

Lezione 4: stabilità

Teoria di Eulero

Determinazione del carico critico ideale.

Materiale elastico lineare.

Assenza di imperfezioni.

Asta perfetta/ideale.

Asta elastica di rigidezza EJ sottoposta a forza normale N che induce un allungamento dell’asta ferma.

Vogliamo capire se configurazione stabile o instabile, quindi spostiamo l’asta in una configurazione deformata.

Poi vediamo se, una volta tolta l’ultima o prima oli forse applicate, l’asta ritorna nella configurazione iniziale oppure no.

Approccio statico classico del carico critico

Esisterà un carico per cui quando si sposta la struttura nella configurazione deformata questa non rientra più, rimane deformata.

L’equilibrio diventa indifferente quando il momento delle F. esterne uguaglia il momento interno dovuto alla deformazione accumulata in quella configurazione.

H(z) = N · y(z)

Momento interno stabilizzante.

Momento esterno instabilizzante.

Differenza di equilibrio.

Trave in flessione

Trave in flessione di rigidezza EJ.

Allora: -M / EJ = y” = M / EJ → y” = y'' , M = - EJ y''

Teoria di trascurabile.

Teoria di Eulero quindi approssimazioni piccoli.

Transitori ipot.: xslipz.

Teoria del II ordine linearizzata

y'' + _N^y / _E^J = 0

Equazione risolvente.

Equazione differenziale del II ordine omogenea (=0) a coefficienti costanti.

k = √_N^EJ

Soluzione generale.

y = A sen kz + B cos kz

Risolvere le costanti per ottenere il valore dell’evario critico.

• Z = 0
• Imponiamo che la deformata abbia spostamento nullo [y = 0]
• Z = l

• B = 0
• A ≠ 0
• Ha avremo una soluzione banale oppure: sen kl = 0 ⟶ kl = mπ

Esistono infinite soluzioni per cui il seno è nullo.

N_α = m²π² EJ / l²

Questo è sorta di instabilità colonna la fa secondo una sinusoide del tipo su kz.

N_α = π²EJ / l²

m = 2

N_α = 4 π²EJ / l²

Lunghezza libera di infezione l_o = l / 2.

Ci sono vari modi di deformarsi della struttura!

Più la sinusoide diventa articolata e più il carico critico aumenta.

Secondo la teoria di Eulero

• N < N_cr Equilibrio stabile
• N = N_cr Equilibrio indifferente
• N > N_cr Equilibrio instabile

In generale quello che ci interessa è il carico critico più basso.

Tensione critica di Eulero.

Teoricamente l’asta ha infiniti carichi critici.

Tensione di snervamento.

Oltre le due linee i poteri di Eulero non valgono!

λ_y = Snellezza critica: s