Appunti Analisi matematica 2

Vettori n-dimensionali

Chiamiamo R^m insieme dei vettori m-dimensionali, quando diciamo che x ∈ R^m, ovvero intendiamo che x è un vettore.

Il particolare di alcuni dei vettori:

x ∈ R^m, y ∈ R^m, λ ∈ R x_i = (x₁, ..., x_m) y = (y₁, ..., y_m)

Che operazioni possiamo fare?

x+y ⇒ vettore avente come componente la somma delle componenti: (x₁+y₁, ..., x_m+y_m)

λx ⇒ vettore avente come componente il prodotto di un numero per un vettore (λx₁, ..., λx_m)

Norma di un vettore

Norma di un vettore (modulo di un vettore)

La norma di un vettore si indica ||x|| ed è: √(x₁²+x₂²+...+x_m²)

Ossia, la distanza del punto P dall'origine.

Quando si ha la norma del vettore (riprendiamo P)

Per conoscere la distanza tra punti P e Q (vettori):

dist (P, Q) = distanza tra P e Q, ovvero, tra x e y

dist (x, y) ⇒ √((x₁-y₁)² + ... + (x_m-y_m)²)

La distanza è la norma differenza dei vettori

Vettori n-dimensionali

Chiamiamo R^m insieme dei vettori m-dimensionali, quando diciamo che x ∈ R^m, ovvero intendiamo che x è un vettore.

x_i ∈ R^m, y ∈ R, ∆ ∈ R

x = (x₁, ..., x_m) y = (y₁, ..., y_m)

Che operazioni possiamo fare?

x+y ⇒ vettore avente come componente la somma delle componenti: (x₁+y₁, ..., x_m+y_m)

-λx ⇒ vettore avente come componente il prodotto di un numero per un vettore: (-λx₁, ..., -λx_m)

Norma di un vettore

Norma di un vettore (modulo di un vettore)

La norma di un vettore si indica |x| ed è la distanza del punto P dall'origine.

|x| = √(x₁² + x₂² + ... + x_m²)

• Quando si ha la norma del vettore (riprendiamo P)

Per conoscere la distanza tra punti P e Q (vettori):

dist (P, Q) = distanza tra P e Q, ovvero, tra x e y

dist (x, y) ⇒ √(x₁-y₁)² + ... + (x_m-y_m)²

La distanza è la norma differenza dei vettori

Oss: la distanza tra x, e y, è uguale alla norma del vettore

x-y=(x₁-y₁, x₂-y₂, ..., x_m-y_m)

Prodotto scalare tra due vettori x e y

Il prodotto scalare tra x=(x₁, y₂, ...) e y=(y₁, y₂, ...) è il prodotto delle componenti dei vettori, cui risultato è un numero:

x₁y₁+ x₂y₂ +...+ x_my_m = ∈ℝ

Cosa collega la norma con il prodotto scalare?

La norma di un vettore è uguale alla radice di un prodotto scalare del vettore con se stesso.

||x||=√_(x-x) ➔ ||x||²

Cosa collega la distanza con il prodotto scalare?

La distanza di due vettori è uguale alla radice del prodotto scalare del vettore (x-y) x (x-y)

||x-y|| = √(x-y)₁ * (x-y)₁ + ...=√(x₁-y₁) * (x₁-y₁) + ....

||x-y|| = √(||x||² + ||y||² - 2 x,y)

Geometricamente parlando, il prodotto scalare

x . y = ||x|| . ||y|| cos Θ

Cosa vuol dire se il prodotto scalare tra x e y = 0

Caso banale

x = 0

y = 0

Vettore nullo componenti=0

Se x ≠ 0 e y ≠ 0

x . y = 0

x e y sono perpendicolari

(Θ = 90 ➔ cos90 = 0)

Esempio 1

Geometricamente

Matrici

Una matrice m x m (m righe per n colonne) è una tabella come la seguente con m ed n numeri naturali e in essa possiamo distinguere le righe dalle colonne.

Può essere indicata come (a_h,k) oppure (a_h,k) con h e k numeri naturali: e 1 < h < m e 1 < k < n

Una matrice si dice quadrata se ha tante righe quante colonne con m numero naturale. m si dice anche ordine della matrice quadrata.

Come si determina una matrice quadrata?

Funzione di più variabili

Insieme di arrivo

Legge che ad ogni elemento dell'insieme di partenza associa e uno solo elemento dell'insieme di arrivo.

Nelle funzioni di più variabili, l'insieme di partenza è un sottoinsieme