Appunti Analisi II prof Daniele Castorina

Successioni di funzioni

Sia I un insieme di numeri reali e sia \( f_k: I \rightarrow \mathbb{R} \) una successione di funzioni reali. \( f(x) \in \mathbb{R} \) converge puntualmente in I verso \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) sse \(\lim_{k \to +\infty} f_k(x) = f(x)\)   \(\forall x \in I\) cioè \(\forall \epsilon > 0 \; \forall x \in I \; \exists V_{\epsilon, x} \; \exists k_0 \in \mathbb{N}\) tale che \( |f_k(x) - f(x)| \)

Esempio

\( f_m(x) = mx \)

• \( m = 1 \quad f_1(x) = x \)
• \( m = 2 \quad f_2(x) = 2x \)
• \( m = 3 \quad f_3(x) = 3x \)

\(\lim_{m \to +\infty} mx = \begin{cases} +\infty & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -\infty & x \end{cases}\)

\( f_k(x) \) converge puntualmente solo per \( x \geq 0 \) in \( f(x) = 0 \)

Esempio 1

\( f(x) = \frac{\sin x}{m} \quad x \in \mathbb{R} \)

• \( m = 1 \quad \frac{\sin x}{1} \)
• \( m = 2 \quad \frac{\sin x}{2} \)
• \( m = 3 \quad \frac{\sin x}{3} \)

\(\lim_{m \to +\infty} \frac{\sin x}{m} = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \)

Verifico con la definizione \(-1 \leq \sin x \leq 1 \rightarrow - \frac{1}{m} \leq \frac{\sin x}{m} \leq \frac{1}{m} \)

\(\lim_{m \to +\infty} \frac{1}{m} = 0\)

Quindi il limite puntuale tende a 0.

Esempio 2

\( f_m(x) = \frac{x}{m} \)

• \( m = 1 \quad f_1(x) = x \)
• \( m = 2 \quad f_2(x) = \frac{x}{2} \)
• \( m = 3 \quad f_3(x) = \frac{x}{3} \)

\(\lim_{m \to +\infty} \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{m} - 0 \)

Successioni di funzioni

Sia I un insieme di numeri reali e sia \( f_k: I \rightarrow \mathbb{R} \) una successione di funzioni reali, definiamo:

\( f_k \) converge puntualmente in I verso \( f: I \subset \mathbb{R} \) se \(\lim_{k\rightarrow+\infty} f_k(x) = f(x) \ ∀x \in I\) (limite puntuale)

cioè \(∀\epsilon > 0 \ ∀x \in I \ esiste v_{\epsilon,x} \in \mathbb{N} \ tale \ che |f_k(x) - f(x)| < \epsilon\)

Esempio

\( f_m(x) = mx \)

• \( m = 1 \quad f_1(x) = x \)
• \( m = 2 \quad f_2(x) = 2x \)
• \( m = 3 \quad f_3(x) = 3x \)

\(\lim_{m\rightarrow+\infty} mx = \begin{cases} +\infty & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -\infty & x < 0 \end{cases}\)

\( f_m(x) \) converge puntualmente solo per \( x \geq 0 \) in \( f(x) = 0 \)

Esempio 1

\( f(x) = \frac{\sin x}{m} \quad x \in \mathbb{R} \)

• \( m = 1 \quad \frac{\sin x}{1} \)
• \( m = 2 \quad \frac{\sin x}{2} \)
• \( m = 3 \quad \frac{\sin x}{3} \)

\(\lim_{m\rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{m} = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \)

Verifico con la definizione: \(-1 \leq \sin x \leq 1 \rightarrow -\frac{1}{m} \leq \frac{\sin x}{m} \leq \frac{1}{m}\)

\(\lim_{m\rightarrow+\infty} -\frac{1}{m} = 0 \quad \lim_{m\rightarrow+\infty} \frac{1}{m} = 0 \) (per il teorema dei carabinieri \(\frac{\sin x}{m} \rightarrow_{m\rightarrow+\infty} 0\))

Quindi il limite puntuale tende a 0.

Esempio 2

\( f_m(x) = \frac{x}{m} \)

\(\lim_{m\rightarrow+\infty} \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow |\frac{x}{m} - 0| < \epsilon \forall m > v_{\epsilon,x} = \frac{|x|}{\epsilon}\)

Convergenza uniforme

Allo stesso modo, \( p_n \) converge uniformemente in \( I \subset \mathbb{R} \) verso \( f \) se \(\forall \epsilon>0\), esiste \( v_{\epsilon} \in \mathbb{N} \) tale che \(\sup_{I} \{ | p_n(x) - f(x) | : x \in I \} < \epsilon \quad \forall k > v_{\epsilon}\)

ossia se \(\lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{I} \{ | p_n(x) - f(x) | : x \in I \} = 0\)

Se converge puntualmente e uniformemente in un insieme I allora converge rispettivamente puntualmente e uniformemente in ogni sottoinsieme \( I' \subset I \)

La convergenza uniforme implica quella puntuale.

Nei due esempi precedenti si può parlare di convergenza uniforme?

Caso 1

\( p_n(x) = \frac{\sin x}{m} \quad p(x) = 0\)

Intervallo di convergenza puntuale \( I = \mathbb{R} \)

\(\sup_{\mathbb{R}} \{ |p_n(x) - p(x)| \} = \sup_{\mathbb{R}} \{ |\frac{\sin x}{m} - 0| \} = \sup_{\mathbb{R}} \{ |\frac{\sin x}{m} | \leq \frac{1}{m} \} \rightarrow 0 \)

Si ha convergenza uniforme in \( p(x) = 0 \) su tutto \( I = \mathbb{R} \)

Caso 2

\( p_n(x) = \frac{x}{m} \quad p(x) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \)

\(\sup_{\mathbb{R}} \{ |p_n(x) - p(x) | \} = \sup_{\mathbb{R}} \{ |\frac{x}{m} - 0| \} = \sup_{\mathbb{R}} \{ |\frac{x}{m} | \}\)