Appunti di Analisi II

Successioni di funzioni

Martedì 9 marzo 2021 09:59

Sia I ⊂ R e R come una successione di funzioni p_n(x), p₂(x), ..., p_n(x), definite in I, con x ∈ I.

Convergenza puntuale per la successione

Diciamo che la successione {p_n(x)} converge puntualmente ad una funzione p: I → R ⇔ {x ∈ I, ∃: lim _m→∞ p_m(x) = p(x)}. Limite di successioni: ∀ x ∈ I, ∀ ϵ > 0, ∃ ν₀: |p_m(x) - p(x)|.

Osservazione: Può dipendere solo da ϵ ma anche da a_x. ν = ν (ϵ, x) può accadere per certe successioni che ν dipenda solo da ϵ e sia indipendente da x. In questo caso si parla di convergenza uniforme.

Definizione di convergenza uniforme

La successione converge uniformemente a p in I ⇔ ∀ ϵ > 0, ∃ ν: |p_m(x) - p(x)|. Cosa succede graficamente? y = p(x) in I = [a₁, b]

Se la successione converge uniformemente, le funzioni f_m → f uniformemente in I, per m → ∞, allora p in I al crescere del grado si schiacciano intorno al segno della funzione limite p_m in I. È intorno tubolare. Molta convergenza puntuale = ea non ho gli intorni tubolari.

Ad esempio, la convergenza uniforme implica convergenza puntuale ma il viceversa non vale. Equivalentemente, f_m → g ed p uniformemente in I se e solo se ∀ ϵ > 0, ∃ ν > 0 ∀ x ∈ I e x ∈ ν. Anche 2 ≻ se soddisfa se {1|p_m(x) - p(x)| 2} ≻ x ∈ I ≻ delle confemm ≥ 30 converge a 0 → il lim _m→∞ q_m = 0.

Analisi II pagina 1

Martedì 9 marzo 2021 09:59

Sia I ⊆ R e (f_n) con una successione di funzioni f_n: I → R f_n(x), f₂(x),..., f_n(x)_n,..., definita in I x &element; I.

Convergenza puntuale per la successione

Diciamo che una successione (f_n) converge puntualmente ad una funzione f: I → R &xrarr; ∀ x &element; I, lim_n→∞ f_n(x) = f(x) ↔ limite di successioni: ∀ x &element; I, ∀ ϵ > 0, ∃ n₀: |f_n(x)-f(x)| < ϵ ∀ n ≥ n₀.

Osservazione: Può dipendere da x e ma anche dallo x &downarrow; 1) ∃ (x) può accadere per certe successioni che n dipenda solo da ϵ e sia indipendente da x. Si parla di convergenza uniforme.

Definizione di convergenza uniforme

La successione converge uniformemente ad f in I &subset; ∃ ϵ > 0 ∃ n₀: |f_n(x)-f(x)| < ϵ ∀ n ≥ n₀ ∀ x &element; I.

Cosa succede graficamente? y = f(x) graph: f(x)-ϵ &element; &supplus; f(x)+ϵ ∀ n ≥ n₀ ∀ x &element; I.

I = [a, b] incontro tubolare "grafica contenimeno in c &exists; ab" che succede quando le convergenze uniformi? f_n(x) &xrsquo; punteal Cascarale: f_n si schiacciano intorno al sopra alla funzione limite f_n in I &element; incontro tubolare nella convergenza puntuale non ho gli incontri tubolari.

Ex: Convergenza uniforme implica convergenza puntuale ma il viceversa non vale. Equivalentemente, f_n converge ad f uniformemente in I se e solo se ∀ ϵ > 0, ∃ n₀ > 0: ∀ n ≥ n₀ ∀ ϵ₁ > 0 anche 2 − ϵ _{spazio sobrale} ∃ q: ∀ f_n(x) – f(x) | x &element; I ∃_{semp. delle difelofare} sup B = sup m ≥ 0 converge al 0 ↔ il lim_n→∞ sup |a_n| = 0.

Esempio di convergenza puntuale e uniforme

Ex/ fm(x) = x^m x ∈ (0,1). Staccata con puntuale e uniforme, individuare lem puntuale analizzando e facendo il lem uniforme.

∫ f^m(x) a e S ● 0 ≤ x ≤ 1. 1 x - 1 dunque f^(m) = ∫ puntualmente un [0,1] m = 1 bisettrice m = 2 x² m = 3 x³ e così via. La convergenza si andrà uniforme?

0 ≤ lim. = sup{ |f^m(x) - f(x)|: x ∈ (0,1)}^m = sup{ |f^m - f| (x ∈ (0,1))^m } per x: 1 → 0 = sup { x^m - 0 : x ∈ (0,1) } = 1 → + ] x ≠ 0.

La convergenza non è uniforme. Ho trovato che lim. lim. = 1 → +0 m→∞ la convergenza è solo puntuale ma non uniforme. Per capire del sezion, non individuino un insieme subeloc p_b/ Supponiamo che f^m → f un Im → +∞ quali proprietà dell. f^m si trasmetteranno alla F? x^m risulta suc contenme un [0,1] convegno puntm. Quando una successione di funzioni converge un I f^m f_n → f f puntualmente in Inon, conconome che f sia continuo un I.

Ex: f_n(x) = x^m in (0,1) f_n scrumenu. f_n →