Appunti Analisi I

1a sin9 analisi Eaua' inf fanfglxidxcos 8 Lezione 6 parte 1

Intorno XO intorno di: XOELR intorno centro lx-xoicsf.YIII.LI?!s:ii :µ {Bsolxoi EIR× := 8X minore XO di-↳ raggio intorno se xotaxo -Inter - un←d)( S Intorno InXot di XoXo= - ; intorno XOdel )(Intorno punto Forato Privato intorno centro undi: XoBglxolltxo }{ xolcs che} XEIRIOCIX si→ deduce ×= #o-( )ott8 IO Ho :XX= intorno forato XOdia- ,

Punto Accumulazione XDef insième accumulazione XOEIR è' Perdi seXdiXo punti intorno di cadono per Forato ogni, ¢4×03Isso ha XBglxoil n #si accumulazione infiniti Xo è intorno in cadono di ogni Oss suo se: ,Xpunti di XXo appartenere Oss : Forza non deve aper } ?XIIIX { chi Es accumulazione IN è ilneX punto• di:=: , accumulazione1413 0 è p di12 .-É X¢NI intersezione O : o è vuota570sia FAsicome :f- ¢S SIRX #, 8 1gCfcsia EIN >n no: }:{X " la f)ilC- MEN:Xx• . -. aJ > ¢ Xaccomulaa.orgIl -1 1P di -1sono ,.Atf↳ 21in 1- punti cadono infiniti;fata si //-1 /; .b)(:X dell' accommiatare intervallo iOss tutti a punti= sono di, balcompresi snxwnè vuoto insieme mai intervallo=) UN lozione acconti tutti di punti aperto contiene gli Inoltre accumulazione intervallo dell'estremi di sono,X Qn [ b): a.• b)X [lozione tutti è punti di Dii acconce Fatto sono daa, accumulazione punti di

Punto Isolato: XXo isolato accumulazione Def E NOIPè è: dise. {) X XDIsso Bglxo n: =X}Bglx dillo §intorno ncon :Forato =È .l' punti contiene↳ intorno non"tu }:{X Ehn solo punti contiene× isolati. no ,. € XAceconularione=p0e .§ §il infiniti è non ci dopone sono punto se 2 ¥punti vicini dopo.

Parte 2

X abbia Quale almeno Come sapere faccio a generico? lozione un punto di acconto Teorema limitato Estrassi WEIdi sottoinsieme ogni accumulazione R punto infinito un ammette didie che insiemi infiniti sono non limitati hanno ci non e punti Accumulazione di( IN è superiormente es : limitato NON→↳ è infinito ( 8=1Tutti naturali isolati i numeri se sono non prendo altro naturale incontro )un n .accumulazionef. di NON sonoci che NON di limitati finiti hanno non sono e punti ci insiemi accumulazione↳ 41 } elementi→ Finito :32,3es : ,112,3 isolati sono Accumulazione Dici punti e sono non

Limite IR:X accumulazione f →Def XOEIR sia disia: eX. le che che Xtende IRPer fcx)diremo pera XEXfende HE 7 g- SEXo soSE per> oa :lfcxche XOICS hasoddisfa ll) CE0Ce IX. si -limitatamente fino }=Lf.- . ↳ Se Esempio :[)fcx Parte)cosa cosa→ )intera die• bin =Lflxo )[ )coscia fco=/) O ==+ o→ limite che nella definizione non dire Xo questo per Di, il intorno ma conta conta suo 1-ES :fig ( ) il limite ?cheXIX vale come dimostrasi a=L hateso chi SeSE7 -1k si:o> se +-21KITX CE che Efunzione di miX introvo il determina seE} }FISE triste§* min -- -- ,

Parte 3

XTIRf- accomolorione sia Def sia Xoe punto di un:X. che fai tende Diremo C-per a) Xa to perche f- MEIRtende Xo 78se : > se0 per:a mX ha )Xoicsm gcxssmlfcxk.tle oclx sie× - linkedin.to/NHN}fino ad C-fcxt.toXotsmXo Sn-¥ applico definizione lato=ma qg⑦/Senso haV. Mio Mdcsn7 oclx sise -NelIn Snxzc =vm① l' intervallo ftp..fm )dentro- abbiamo! :#@ •1 Ìn- En & ¥+2 -0cheverifica è× casa ;: , iche( beiio Inoclxtztf- MIO ASMverificare sisu seha MI c-Xtzsz( IR X:Xsia limitata fpef → non superiormente: ,tende lche che tendefai Xdiremo a per aTE XEXa)C- 7 QEIR>se+ o isolese ea :18hha ll CxcaeCEsi )-limitlNFNITO-ttnitf.ae}fino E= - - . . i---- -- -- - →% ④ sempresta→ inEes :aectonlxh.EE?fig.aoarctonCxl=-E/,./- - tz-figo• ÷ ÷ .. ...MÌbin 1 }!• =X 1Hoo -÷ ..=:Scrivere il Def Infinito Xcasa Infinito Caso: - fa'avro" " 9×0 Dxda"" avvicino" ! mise÷ ... ..i.ie?.tt.f::::::¥flxt.limite tooDX :÷esempio : /^flx [) XI:• fini 1)Ex -io _. -% ↳: .- )[l'Def intornoEIR Xqyotssia diXo XODX: =, l' ( ]di SSX to XOintorno xo = - ,Dgf ttX 830PXOEIR: di 29 DXsia sedi.) 0Ho xott, ¢MX)( SXosinistro : io- , }f{X INes ne: ×: : , X ( )è p interi DXO nonaaccon hosxper. . .che sono positivi Dato}{X. t.nu fi nonx. - ,accumulazione Punto f- SXlozione Punto DXA- acconce- accumulazione accumulazione) èCsxXoOss XDX punto di: accumulazione CsxAccumulazione )è XopuntoX di DX limite Def che Diremo )gcxdisx perltendeche èXO SXintorno× o se -H XEXSE XECXOE 3- S xDsoso se: e - ,)lfcxha elcssi - limiteraifigo }Slxtal. fino Slxtl finiscila ! =LTeorema :O: .

Lezione 7 parte 1

} }usato{! IRU reali R = insieme estesi- o accumulazione:X IR Definizione di limite f siasia: → eX ( realed indicaper con tanumero Xoun ao oo oo-,. ,)Xot XO -,Diremo là tendetende te cheche )fcx × ad seperatt EVV unU flxtale )t che7 X alloraEintorno diintorno se ×un adi ,¥48 }UM tutte contiene leX definizioni definizione questa= limiti d' questa precedenti Useremo indi e poi ora "" "" ll"" l" ^"" " " di"" " "" "" """ °° '-

Teoremi Limiti Teorema unicità limite tende ammette allora se che adf ×LIMITE aDEL per:• ,tale limite è unico a =LI( nelDM )! XoLcaso finito FINITO e=-Per fino lelimitiche .la=L laogcxtassurdo sianocisuppongo 2 #, ,,ll1¥ESia le laè intornoE• intorno disgiunto da a.lfcx la7 ICEoclxSe est )xol0> : se --7 Selflxt.la/cEsi2S=mirxdcszix.seso : oc}{ si se, lettleialla lzt lfcx lflx Etc)la E) ElfcxttgcxiO 2<- >-- - -. disuguaglianzatriangolare1ft /laE Assurdo> -2- ✓la =L tenda

Teorema permanenza che supponiamo limite del fcx )• permanenza una segno :( Allora) forato)vale flxanche delintornomaggiore di zero intoo 70 numeroun.tendecui Xa ÷:c. .»%È 1lelo =L XOEIRlEIRDim ildimostriamo ×>per. eo =. ,Prendo (l f)E Eroche E.in -modo es : lgcxSio ll7 E)xolcsoclx: cse -- -1- E fcxiclt Ecl ④ fcxtclt② E Eo -ocgcxt ✓(

Parte 2

7 ② siase funzione limite positiva abbia cheè che Oss : èuna non questoedetto¢ ?① ② flx ) soX XFO= per÷ . ⇐ o % :÷.Vale !che forato cheintorno) esista )84fcxinvece inO !sia un>: a editale limite "" la ( »è indeboliamoteorema disuguaglianzail> valeinverso dase• > o

Teorema h :X tali che fcxicglxsclrcx )f. IRsiano Carabinieri →• Dei : g. :finforato Supponiamo t.li#,ahCx)=lEIRcheintorno #inXper diaun .Allora linanche glxtelHasupponiamoDim 7E) oclx-xolc.siSeEIR sia: di soxo se:o,IICXha lae) Esi - .] haSa lhcx lloclx-xolc.se )70 si: Ese <-{ Allorasia 8 81 } Cinterssamin )interni se= ; . .gcxtchcxfcxxolc ) Eha i )oclx S si- f- Ecfcxtsgcx ehcx alte) ) Vlgcx EKEe- cgcxic.lt E )E -IsencxProviamo TTXEIRIEIXI)che• " °" " """- "" """ "" """° "l'OCSCNXILXlsencxilclxl oclxlctse 2c-perché ciò lsinxlè 1×1 sonoevero funzioni vale anche IaOCIXICinpari -(Aggiungo EIXII dimostrarlo dobbiamo IXIE tuttavia sen seX. Eo V-XE.IR 'XKEmancino1×1se Nhl Vlsincxslclxllsinxlseicztalxllim Proviamo che 184110flxtsingle ossi → o• o+ → oSi ha OEISENXIEIXIPerciò l' che carabinieri teorema hail per-0× si osservazione per dei per e, ,lsincxsl O→ l'sin osservazione o→ perla trigonometria Per 1coscxi →-

Lezione 8 parte 1

@:Iiii :*:⇐ si• ÷« ÷ .. . cambio l. segno)cosa {si 21e essendo pari anche vale X HEincoscx ) Oclxictzcs ce sefin =L l')coscx ansieÈ iii.+ o→%:c ..

Operazioni limiti ICon Teorema operazioni limitisui finiti IRX Xsiano accumulazione-g sia pe a: perg .; Allorale)che fcx EIRIR gcx ) Xsupponiamo per ×m --e→ .fcxttgcx ) ltm→• lgcx )fcx ) -• m-- lj§{÷→ M¥0 gatto per permanenza con• del segno Fissoflxttgcx Ctm E) ftp.D=Dimostrazione → soXosuppongo: -275170 etc §xdcdsoclx lflxtse: --] nicSe §xolcszoclx lgcx )70 : se -- i!TÌMattoni ⑤cenni tyaa.mu :;lflxttgcx CECltmll) - htmfcxitgcxl →is : fin 1sinxtcosx =• + → o -lin 1si cosi• =+ → 0 IR chetaliXf. fsiano

Corollario Carabinieri teorema Dei -:: gAllora limitata faiè gcxlgennaio O→ × apera →×a -per .. EMlgglxltlfcxslolgcxillfcx )ofDim : - ↳Mio ilgcxllem ( limitatapoiché lgcxllSia → oMlgcxil o→ perlimitiPJODOCTO DiIflxtgcxllPer carabinieriteoremail dei o→Vfcxtgcx ) o→Es :¥7 ? InoIsin perchè} O × →per o• = (limitata# è Edsin sinPer il corollario O→prodottoquesto, limitelimiti poicheprodotto hail sinfsiNB ×deiFAnon →non: per o=bin ¥?perché o• sncxitcoscxi.co a→ →per +÷+ → limitataèsin )tascalsincxttcoscxllslsinlxiltlcoslh.czil corollarioper questo 0prodotto →,:2

Parte 2

fTEOREMA :X IR accumulazione del carabiniere → Xsiano disiag e, foratochesupponiamo intorno) gcxfcx ) dE in un di .Se=) fai gcx )× to-× →+ pero ,oppureSe gcx ) fcx )o × a→ →per O→- -,esempio :bin ?perchèXtsinx too=Ma )gcx binXtsinx)gcx )gcx ) Xtsinxtoo agcx→ → to =↳[ + a→ possono minorate Quindi a+ a anchesinx 1 essere= - intervallo ✓EIPÉB):(sia Teorema IRf 2 0,13 limite funzioni monotone →: con,{Allora G) )crescente supfcxf npgflo nafcxtinggcxl lèe monotona ':sesia a-. ! %ffcxt.infose decrescenteèf supgcxt} 8C: »=. e !.:#,upthe> sup la tangenteesempioun è :ne

Parte 3

Operazioni limiti infiniti ftp..to lCEIR ( ) }totocon• . . = l' °e.lottate a)c.. coao• = -- b.( ) }( ) tool(to tooto t 00• - . =- - l' °todt )l.C.coa)C- to• ao -.= - .la otto ( ))O to• to.= --1 too ( a)()=• to. -00. =-Ot f-1=-0 a)f-a) to• =• .-0Tuttavia :fatto {)• = isèbikisaetatootto ) }Ip!!!:[• = Forme indeterminate§ ;• e• 00 XTEOREMA IR accumulazionef.siano -OPERAZIONI LIMITI ×eESTESI di:: g Allorache # EITÉ)supponiamo )fcx delle µgcx + :- pere → ×→fcxttglx ) htm• →t.frfcxig• →I'flx• → aEs :him ?Ùt×' leMetto il altoincome più• procedere evidenza × con grad