Appunti Analisi 2

Le serie

Studiare i caratteri di una serie significa stabilire se la serie converge, diverge o è indeterminata.

(1 1) (1 1)1 − − − − − …⏟ = 1? Nel nostro caso?

Serie numeriche a valori complessi

Serie numeriche a valori complessi 2 = 1 + + + ⋯ + =

Sia una successione di numeri complessi)( ℂ. −1 (1 ) = 1 + + + ⋯ + =+ − ∈ ℂ, ∀ +1= 1 + ∗ −

Definiamo la successione )( Se ≠ 1 +1(1 )− = 1 − = � = + + ⋯ + 1 2 +11 − =0 = 1 −

È la successione dei termini generali( ) 1è la successione delle somme parziali (o( ) ||⎧ , < 1 1 − ⎪delle ridotte) +∞, = 1lim = ⎨→+∞ +∞, ∈ ℝ, > 1⎪

La coppia di successioni e si chiama ||) )( ( ⎩ , ∈ ℝ, ≤ −1 ∉ ℝ, ≥ 1 serie.

Esempio

1Vista la serie = ⇒ 2 +∞1 1 1 1 = + + + ⋯ + 3(cos(1))� 2 4 8 2 =37lim = 1→+∞

La serie è geometrica di ragione |cos (1) | < 1quindi è convergenteSe esiste +∞ 36lim = 3→+∞ 3(cos(1))3(cos(1)) = − �� cos(1)1 −+∞ =37 =0= �

Esempio

=0 = + +1 +1somma della serie.si dice la − = +1 +1convergente.Se è finito la serie si dice Se è ±∞ Supponiamo che la serie sia convergente,divergente.si dice Se il limite non esiste si dice = lim = limdivergente. +1 →+∞ →+∞Sia − = 0 = ⇒ +1 +1

Teorema della condizione necessaria per la convergenza di una serie

TEOREMA DELLA CONDIZIONE NECESSARIA PER( −1) = LA CONVERGENZA DI UNA SERIE: 0 è ( −1) = � = � Sia una serie convergente + + ⋯ + 1 è 0 1 =0 alloralim = ? lim = 0→+∞ →+∞Consideriamo = , ≥ 0 ∈ ℂ, nonLa condizione è necessaria ma sufficiente.

2 serieLa serie si dice1 + + + ⋯ + geometrica di ragione .

Relazione tra serie e integrali generalizzati

1RELAZIONE TRA SERIE E INTEGRALI senso generalizzato su se e solo se la[1, +∞[GENERALIZZATI serie di partenza è convergente, e+∞Ogni serie può essere pensata come un integrale +∞ ( )�� = generalizzato 1=1+∞ ( ) ( )� � = lim→+∞

La serie armonica

LA SERIE ARMONICASia data una successione , di cui vogliamo( ) considerare la serie. Sia una successione)( 1Definiamo la funzione : [1, +∞[ = () = , ∈ [, + 1[ () = 1/, ∈ [, + 1[+1 +1( )� � = = () ≥ 1/, ∀ ∈ [1, +∞[La somma parziale della serie Vista la precedente osservazione, la serie = + + ⋯ + = converge se e solo se esiste finito il limite 1 2 2 3 +1 +∞ 1( ) ( )( ) � �� + + ⋯ + = (log 1)� − = +∞ = lim1 2 →+∞1+1

Quindi dato che la funzione non è integrabile, la( )�= non converge.serie di partenza1Dire che la serie converge equivale a dire che 1 1Poiché e non è integrabile, su( ) ≥ [1, +∞[, esiste finito il limite all’infinito per le somme per il confronto non lo è nemmeno e quindi la,parziali 1 è divergente.serie ∑ +1 ( )� = lim⇒ lim 1 In generale possiamo vedere se converge?∑→+∞ →+∞ 1

Quindi se esiste l’integrale generalizzato della +∞ 11 1−� �� = lim =funzione coincide con la somma della serie, 1 − →+∞ 11(sostituisco con + 1). +∞, < 1Se esiste la somma della serie vale viceversa, ma 1�= , > 1va dimostrato. − 11Sia una serie, sia la funzione + + ⋯ + 1 2 , ∈] − 1, ]() = associata come sopra, allora è integrabile in In questo modo la funzione risulta essere21

Per il Teorema del confronto dei limiti si conclude( ) ≤ che1è integrabile perché è integrabile, +∞ +∞ , > 1, � ≤ � ◼1 quindi la serie generalizzata è convergente∑ =0 =0per > 1.

Aut aut per le serie a termini positivi

AUT AUT PER LE SERIE A TERMINI POSITIVI1Se la serie è divergente.∑0 < < 1 Sia Allora la serie ≥ 0, ∀ ∈ .

Teorema criterio del confronto per serie a termini positivi

TEOREMA CRITERIO DEL CONFRONTO PER SERIE +∞A TERMINI POSITIVI � =0Sia allora se la serie0 ≤ ≤ , ∀ ∈ , non puòè convergente oppure divergente,+∞ essere indeterminata.�

SEMI DIM:=0converge, converge anche Si usa la monotonia della successione delle.ridotte )( +∞ �

Serie a termini positivi

SERIE A TERMINI POSITIVI=0 Criterio del confronto (non serve

• Se invece la serie chiedere che valga ∀ ∈ ).+∞ Siano siano tali che , ≥ 0,� =0 lim = lim = 0 →+∞ →+∞diverge, diverge anche E che valga+∞� ord ≥ ord =0 Allora, se la serieDIM: +∞Siano � =0 = + + ⋯ + 1 2 converge, converge anche la seriee +∞ = + + ⋯ + 1 2 � le ridotte dei termini di e . =0Se invece la serie e quindi èEssendo ≤ , ∀ ⇒ ≤ è finito lo è ancheevidente che, se il limite di +∞ quello di , e se il limite di è infinito lo è � anche quello di . =0OSS: Diverge, diverge anche la serie+∞,I limiti esistono perché le successionilim →+∞ � e sono crescenti.( ) � � =03DIM: ∀ > 1 ⇒ ord < Quindi questo caso non può essere risolto con ilcaso :ord > ord criterio del confronto. lim =0 Considero la serie quindi→+∞ Fissato un tale che > 0, ∃ ∈ ∀ ≥ +∞1 1 1� = +∞ log < =2 Diverge perché, considerando l’integraleE quindi . < generalizzato della funzione associataCaso ord = ord : +∞ 1 1� � = lim = log log →+∞lim = ∈ ℝ 2 2→+∞ =log log 1Fissato un tale che �=⏞ lim = +∞ > 0, ∃ ∈ ∀ ≥ 2 2 →+∞ log 2 � − � < Considerando invece 1E quindi = (log ) 2 ( ) ( )< + ⇒ < + Continua a valere che e peròord > 1 → 0 1Concludo in entrambi i casi applicando il Teorema converge.la seriedel confronto. ◼ +∞ 1 1� � = lim =COROLLARIO (CRITERIO DELL’ORDINE DI (log ) (log )2 2 →+∞2 2INFINITESIMO) =log log 1�=⏞ lim = ∈ ℝSia sia ≥ 0 ∀, lim = 0 2 →+∞→+∞ log 2+∞ diverge.la serieSe ∑≤ 1 ord ESEMPIO: =0 laSe invece esiste e ≥ , ∈ ℝ, > 1 ord +∞ 5 + cos converge.serie � 33 + 2=0DIM: Converge perché l’ordine è 2.Confronto con +∞ 2 √1 �= 2 + + 1 =1 3E concludo. ◼ Converge perché l’ordine è .2ESEMPIO: +∞ 1� ��� 1 − cos1 = log =1 1> 1 ⇒ → 0ord � ��1 − coslim =1 →+∞è di ordine infrareale, quindi 4� laPer confronto con la serie geometrica ∑ 1⃓ ��1 − cos⃓ 1⃓ converge.serie ◼⃓= lim ∗ =⃓ 1 2⃓→+∞ ⃓ ���������2 COROLLARIO (CRITERIO DEL RAPPORTO)⃓⃓ 1→⎷ 2 Esista il limite > 0 ∀, 1 1 +1lim = � = lim= lim →+∞22 ∗ √2→+∞ →+∞ converge.Se la serie < 1Diverge perché l’ordine è 1. OSS:+∞ � Se la serie diverge perché non è)( > 1 ( !) 2 =1 infinitesima. DIM:lim = lim =2( !) 2 →+∞ →+∞ �√2 � � � Fissato esiste tale che si ha che > 0 ∀ ≥ +1= lim = � − � < 21 →+∞ 2 ��2 ∗ ∗ +1 < + − <1 == lim 21→+∞ ��∗2 ∗ Prendo allora per il precedente < 1 − , Teorema la serie converge :( 1) <2= lim = ? 2 ∗ →+∞ +1 ���< + < + 1 − = 1 ◼Con il metodo del confronto non si riesce ad arrivare a una conclusione. Tornando quindi all’esempioCRITERIO DEL RAPPORTO (18) +∞ �ed esista una costante ( !) 2 > 0, , 0 ≤ < 1, =1tale che ∀ ∈ +1 2( 1) ( !) + +1 = ∗+1 [( 1)!] 2 ≤ + 2( !)( 1)( 1) + +Allora converge la serie lim ∗ =[( 1)!] 2 +→+∞+∞ 11� �1 �+= lim = 0 < 1 ������� + 1→+∞=0 DIM: Quindi la serie converge per il criterio delrapporto. ≤ ∗ +1 ≤ ∗ 1 02≤ ∗ ≤ ∗ CRITERIO DELLA RADICE N-ESIMA2 1 0Per induzione quindi si dimostra che Sia esista poi tale che ≥ 0, ∈ ℝ, 0 ≤ < 1 si ha che∀ ∈ ≤ ∗ 0 � ≤ 5Allora converge la serie Se la serie è di ordine sopra reale,
• Quindi converge+∞ Se la serie converge per il criterio
• Della radice n-esima.=0 ESEMPIO:DIM: +∞elevo alla entrambi i termini 1 ��1� log − ≤ =2Essendo e una serie geometrica, la Non è a termini positivi, quindi cambio segno0 ≤ < 1 serie converge. ◼ +∞ 1�1 �− � − log −COROLLARIO =2Sia ed esista il limite ≥ 0, Applico il criterio del rapporto�lim = 1→+∞ ��1log − + 1 =limconverge.Allora, se la serie ∑ < 1 1→+∞ ��1log −