Appunti Analisi 2

Derivate parziali

Definizione

∫_{((x0,y0),(x,y))} ∇f(x,y)•d_l = lim_{t → 0} [ f(x₀ + t v₁ ; y₀ + t v₂) - f(x₀,y₀) ] / t

La derivata lungo una qualsiasi direzione (v₁,v₂) è definita da tale espressione.

Dico lungo una qualsiasi direzione perché in un punto ci posso arrivare lungo nente direzioni → (v₁,v₂).

Esempio

X(x,y) = 2x - xy

(x₀,y₀) = (1,3)

lim_{t → 0} [2(1 + t v₁)] [(1 + t v₁)] [(3 + t v₂)] - 2(-3) / t = lim_{t → 0} (2 + 2t v₁ - 3 - 3t v₁ - t v₁t v₂ + t²) t + 1 / t

lim_{k → 0} v₁t - 3v₁t - v₁t - v₁t v₂t² = lim_{t → 0} 2v₁ - 3t v₁ - v₁t - v₁t t v₂² - v₂ = -v₂ - v₂

Posso accettare qualsiasi numero basta che non sia ∞)

Questo vuol dire che in base alla direzione che scelgo (v₁,v₂) definiamo una derivata pari a questa.

Per esempio se voglio la derivata di ascendere in tale punto lungo le rette (1,2,5) definendo come derivata parziale: F T = 0,2 via a M bson volta dovrò fare lim^{t → 0} = lim^{t → 0} se corrispondono allora esiste la derivata parziale lungo una specifica direzione è pari a O.

In modo pratico

∂/∂x(y,x) = 3x * y - x * lny - 2xy³ - 3x - 1

∂/∂y(x,y) = 3y² x - lny - 2y³ - 3

∂/∂x(x,y) = 3x² - x - 1/y - 6xy³

∂/∂y²(x,y) = 6xy ∂^{1_y(x,y) = 3y2 x - 1/y3 + 2↓xy}

∂/∂x(x,y) = 6x * - 1/y * 6y²}

Queste due derivate parziali miste sono uguali e non è un caso perché interviene il teorema di Schwartz: se ho una f in due variabili definite in un insieme aperto di R'² e questa funzione ammette derivate secondo misre continue => le due derivate misfe coincidono.

Derivate parziali

Definizione

lim_t→0 [f(x₀+tυ₁; y₀+tυ₂) - f(x₀, y₀)] / t

La derivata lungo una qualsiasi direzione (υ₁, υ₂) è definita da tale espressione.

Dico lungo una qualsiasi direzione perchè in un punto ci posso arrivare lungo infinite direzioni. → t ≠ (υ₁, υ₂)

Esempio

f(x, y) = 2x - xy   (x₀, y₀) = (1, 3)

lim_t→0 [2(1+t) - 1(3+t)] / t = [2+2t-t-3] / t = -1

Posso accettare qualsiasi numero basta che non sia ∞.

Questo vuol dire che in base alla direzione che sceglierò (υ₁, υ₂), ottengo una derivata pari a questa.

Per esempio se voglio la derivata di tale f in tale punto lungo le rette (1/2, 5) ottengo come derivata pari a -1.

Non vuol dire comunque fare lim_t→0 e lim_t→0 se corrispondono allora esiste la derivata parziale lungo una specifica direzione e punto.

In modo pratico

f_x(x, y) = 3x·y - x ln y - 2xy³ - 3x - 1

f_y(x, y) = 3yx² · ln y - 2y³ - 3

f_xx(x, y) = 3x² · x - 1/y - 6xy³

f_yy(x, y) = 6y

f_xy(x, y) = x·1/y - xf

f_xy(x, y) = 6x - x·1/y - 6y²

Queste due derivate parziali miste sono uguali e non è un caso perché interviene il teorema di Schwarz: se ho una f in due variabili definita in un insieme aperto di R² e questa funzione ammette derivate secondo miste continue e le due derivate miste coincidono.

Continuità, derivabilità e differenziabilità

Continuità

La funzione {f(x,y) l(x,y) → (x_o,y_o) è continua se lim (x,y)→(x_o,y_o) f(x,y) = l

Cambio di coordinate

Caso 1 {x = x_o + ρ cosθ y = y_o + ρ sinθ

In questo caso sto studiando delle circonferenze e man mano adìco esse e vedo se vanno a concentrarsi nel punto dove voglio calcolare il limite. Se avviene posso dire il limite esiste.

lim ρ → 0 |{x = x_o + ρ cosθ, y = y_o + ρ sinθ}| = l

Il limite di ρ → 0 vuol dire prendere circonferenze sempre più piccole.

es. f(x,y) = x²y x²+y²