Appunti Analisi 1

Insiemistica

N: insieme dei numeri naturali

N = {0,1,2...}

È un infinito numerabile.

L'infinito di ordine finito esistente.

Un infinito è numerabile quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con N.

Es. numeri pari 0 2 4 6 8...

0 1 2 3 4...

Ed è numerabile se posso, di ogni numero, determinare il precedente e il successivo.

Dimostrazione infinito dei numeri primi

Se P = {x₁, x₂, ... x_n} finito, insieme di numeri primi,

io ho x_n = ∏_i=1ⁿ x_i = x primo e > P

Dato un insieme I

#I = cardinalità di I = N° di elementi di I

Numeri interi relativi

Z: numeri interi relativi

Z = {0,+1,-2...}

Infinita numerabilità

Insiemistica

N: insieme dei numeri naturali

N = {0, 1, 2...}

È un infinito numerabile.

L'infinito di ordine finito esistente.

Un infinito è numerabile quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con N.

Es. numeri pari 0 2 4 6 8 ...

0 1 2 3 4 ...

Ed è numerabile se posso, di ogni numero, determinare il precedente e il successivo.

Dimostrazione infinito dei numeri primi

Se P = {x₁, x₂ ... x_n} finito, insieme di numeri primi,

io ho x_n = ⁿ∏_i=1 x_i = x_primo e > P

Dato un insieme I

#I = cardinalità di I = N di elementi di I

Numeri interi relativi

Z: numeri interi relativi

Z = {0, ±1, ±2...}

Infinita numerabilità

Numeri razionali

Q: insieme dei numeri razionali

Infinito numerabile; Kantor

Posso stabilire precedente e successivo, ed una corrispondenza biunivoca con N.

Q = { 1; 2; 1/2; 3; 1/3; ... }

Insieme dei numeri definitivamente periodici

Insieme dei numeri definitivamente periodici

Cioè si possono scrivere come frazione

Es. 123,45666... = X₁    100X = 12345,6 = X₁

1000X = 123456,6 = X₂

X₂ - X₁ = K in N   =>   1000X - 100X = K   ;   X = K/(1000-100)

Se tolgo la proprietà dell'essere definitivamente periodica ottengo R

Numeri reali

R: insieme dei numeri reali

R = { 0; sqrt(2); -1; 1; ... }

Dimostrazione irrazionalità di sqrt(2) + assurdo

Con p, q in N e primi tra loro, scomponibili in

Se sqrt(2) = p/q

Q

R più che numerabile

Dimostrazione di R più che numerabile

Dim. Considerando solo numeri tra 0 e 1, in R

Se definiamo una lista numerata di numeri reali seguendo cioè:

X_A = 0, X_A1X_A2X_A3...

X_B = 0, X_B1X_B2X_B3...

X_C = 0, X_C1X_C2X_C3...

e X_a = X_a + 1

allora il valore X = 0, X_a1X_b2X_c3...

non può rientrare nella lista.

R è più che numerabile

Q è denso in R

V r in R V epsilon > 0 E q in Q, |r - q| < epsilon

Coefficiente binomiale

Coefficiente binomiale

(n choose k) = n! / (k!(n-k)!) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) / k! = (n choose n-k)

Binomio di Newton

Binomio di Newton

(a + b)^m = sum from k=0 to m (m choose k) a^kb^m-k

Se b < 0 (a - b)^m = (a + (-b))^m

Con 0! = 1

(m choose 0) = 1

(m choose 1) = m

^mC_k = 2^m

Numero dei sottoinsiemi

Numero dei sottoinsiemi di un insieme di N elementi

L'insieme delle parti di R ha # > #R

e un numero di elementi pari a 2^R

Estremo superiore ed inferiore

Estremo superiore ed inferiore

Dato un insieme E, x è maggiorante per E se y <= x forall y e E

Un insieme è illimitato superiormente se non ammette maggioranti.

Il sup è il minimo dei maggioranti

Per illimitato sup = + oo

Il contrario per minoranti e inf.

Trasformazioni di f(x)

Trasformazioni di f(x)

f(x+a) con a > 0

f(x-a) con a > 0

f(x)+a

f(x)-a

Traslazioni

Traslazioni

f(-x) simmetria rispetto all'asse y

-f(x) simmetria rispetto all'asse x

-f(-x) simmetria rispetto all'origine

Simmetrie

Simmetrie

Con kk > 0, k != 1

f(x) | y = kf(x) cambiamento di scala

Divarazione su y. (se k > 1 compressione)

Se k > 1

Se k < 1

y = f(kx) se k > 1 compressione su x

Se k < 1 dilatazione su x

Dilatazioni e compressioni

Dilatazioni e compressioni

y = |f(x)| simmetria delle ordinate negative rispetto all'asse x

y = f(|x|) simmetria della asse negativa rispetto all'asse y

Per le y

Prima le simmetrie, poi traslazioni e dilatazioni.

Si va dall'interno all'esterno

Per le x

Prima le traslazioni, poi le simmetrie

Funzioni pari o dispari

f pari o dispari

Proprietà di simmetria di alcune funzioni

Se f(x) = f(-x) => f pari

È una simmetria rispetto all'asse y

Es. x², cos x, x^2/3