Appunti Analisi 1

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Lezione 1 5/10/2020

Terminologia e notazioni

Insieme: collezione di oggetti. Un insieme è ben individuato se per ogni oggetto è possibile stabilire con certezza se esso appartiene o meno all'insieme.

Si denotano con lettera maiuscola (A, B, C, X, ... sono insiemi).

Gli oggetti si denotano con lettera minuscola: a ∈ A, b ∉ B.

Esempi

A = {2, 3, 5}

a ∈ A, b ∉ A, b ∈/ A, b ∈/ B

OSS: un insieme non esiste ordinamento A = {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {3, 1, 2}

In un insieme non esiste molteplicità: A = {5, 2, 1, 1, 2} = {2, 5, 2, 1, 3}

∅ è insieme vuoto, non contiene nessun elemento.

Insieme finito: contiene numero finito di elementi.

Insieme infinito: contiene numero infinito di elementi.

Esempi

x = |Σ soluzioni reali dell`equazione x² = 0 è

x = ∅, x² = 1

Σ soluzioni reali dell’equazione x² = 1;

x = R Σ soluzioni equazione y > 0 y

Confronto fra insiemi

Inclusione: A ⊆ B ⇔ ∀a, a ∈ A, a ∈ B

A ⊂ B, ma anche B ⊃ A

∀b ∈ B, che b ∉ A ⇔ B ⊃ A

A = B a meno contenuto in B

∃a ∈ A, a ∉ B

OSS importante: due elementi se formano stessa insieme, se B è insieme

Operazioni fra insiemi

Siano A, B ⊆ X gli insiemi.

A ∩ B intersezione {x ∈ X: x ∈ A, x ∈ B}

A ∪ B unione {x ∈ X almeno uno x ∈ B}

A \ B differenza {x ∈ X ... x ∉ B}

A^c complemento {x ∈ X, x ∉ A}

Prodotto cartesiano

Siano A, B gli insiemi.

A × B coppie ordinate

A × B = {(a,b), (a,b) a ∈ A, b ∈ B}

OSS: A × B ≠ B × A la coppia sono ordinate

Esempio

A = {x, y, z}

B = {rosso, verde, giallo}

A × B = {(x, rosso), (x, verde), (x, giallo), (y, rosso), (y, verde), (y, giallo)}

Insiemi numerici

N = {numeri naturali} = {0, 1, 2, 3...} _m ∈ N

Z = {numeri interi (relativi)} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} _m ∈ Z

Q = {numeri razionali} = {^m/_n:_m ∈ Z, _n ∈ N, m × q₀ ≠ 0} _q ∈ Q

R = {numeri reali {}} ∈ Q} _x ∈ R

C = {numeri complessi {}} _x ∈ C

N s ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

Esempio

¹/₂ ∈ Q = ^m/_n m ∈ Z, _n ∈ N, m × q₀ ≠ 3

¹/₂ = ^m/_n m ∈ Z, _n ∈ N, (^m/_n) × q₀ ≠ ³/₃

3 = ³/₁ ∈ Q

3,33₃ = ¹⁰/₁₀ + ³/₃ = ³⁰/₁₀ ∈ Q

Nota

R \ Q ∈ numeri decimali qualsiasi

Esempio

• ∈ -1/2, 1/2, + ¹/₃

[0, 1) ; x ∈ R: 0 ≤ x >

(0, 3] ; x ∈ R: 0 < x ≤ 3

[1, ∞) ; x ∈ R: x ≥ 3

(-∞, 3] ⊆ R: x ≤ 3

[₀, ₁] x [₁, 2, 3] x [_x] ∈ R²

1^o Assioma di completezza di ℝ

Operazioni in ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

+: somma.

Non commutativa (ma opposta)

Proprietà

No quadrato

-: sottrazione.

Opera (determinata)

Prodotto

No quadrato

−: ℚ e ℝ: somma, prodotto, opposito.

Proprietà delle operazioni

Proprietà delle operazioni (in ℝ e in ℛ):

Somma: commutativa, associativa.

Prodotto: commutativa, associativa.

Esiste (unico) ⁰: ᴧ ᴧ ≤ ⁰

Invertito (opposto): ⁰ (₈) ≥

Proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma:

⁸(ʳ + ⁸) = ⁸·ʳ + ⁸·⁸

ℝ e ℚ sono campi: ⁶ ≤ ⁷ ≤ ᴧ……

Proposizione: √2 ∈ ℚ Importante