Appunti Analisi 1

Numeri reali

Assioma di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali con la proprietà che a ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B. Allora esiste almeno un numero reale c tale che a ≤ c ≤ b qualunque siano a e b. L'assioma di completezza stabilisce che i numeri reali si susseguono con continuità, quindi stabilisce l'esistenza della miglior approssimazione possibile.

Per ogni A ⊂ R non vuoto e superiormente limitato esiste in R l'estremo superiore sup A. Ne segue che per ogni A ⊂ R non vuoto e inferiormente limitato esiste in R l'estremo inferiore inf A. Ad esempio, questo assioma garantisce l'esistenza di √

Algoritmo di Erone

X_n+1 = (X_n + )

Si può dimostrare che:

• X_n+1 > X_n lo approssima per eccesso → √
• X_n+1 < X_n, X_n è una successione decrescente → n − √
• X_n+1 - < l'errore tende a 0 e a ogni passo si dimezza: E_n+1 < E_n < ...

Definizioni

Maggiorante

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅, ∃ M ∈ R è maggiorante per A quando M ≥ a per ogni a ∈ A. Se A è superiormente limitato esistono maggioranti.

Minorante

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅, ∃ m ∈ R è minorante per A quando m ≤ a per ogni a ∈ A. Se A è inferiormente limitato esistono minoranti.

Massimo

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅, ∃ M ∈ A è massimo per A quando M ≥ a per ogni a ∈ A.

Minimo

Sia A ⊆ R, A ≠ ∅, ∃ m ∈ A è minimo per A quando m ≤ a per ogni a ∈ A.

L'assioma di completezza garantisce che per ogni insieme superiormente limitato esiste il minimo dei maggioranti, ossia l'estremo superiore sup A. In generale, se z = sup A: ∃z ≥ a per ogni a ∈ A e ∃ ε > 0, a ∈ A con z − ε < a.

Cardinalità

Due insiemi A e B hanno stessa cardinalità, ovvero stesso numero di elementi, quando f: A → B è iniettiva e suriettiva.

Infinito

Un insieme è infinito se ha la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme B ⊆ A.

Insieme numerabile

Un insieme A si dice numerabile se ha la stessa cardinalità di N, cioè f: A → N è iniettiva e suriettiva. N è numerabile, Z è numerabile, Q è numerabile, ma R non è numerabile.

Limite di successioni

Si scrive: X_n → l ∈ R, oppure X_n → l, se ε > 0, ∃ N: n > N implica l − ε < X_n < l + ε.

Successione monotona

• X_n è successione monotona crescente (in senso stretto) quando X_n+1 > X_n
• X_n è successione monotona crescente (in senso debole) quando X_n+1 ≥ X_n
• X_n è successione monotona decrescente (in senso stretto) quando X_n+1 < X_n
• X_n è successione monotona decrescente (in senso debole) quando X_n+1 ≤ X_n

Teorema

Se X_n è (anche debolmente) crescente e superiormente limitata con sup {X_n: n ∈ N} → α, allora X_n → α.

Teorema di unicità

l, se esiste, è unico.

Algebra delle successioni convergenti

Sia X_n → l₁ e Y_n → l₂:

• Linearità: aX_n + bY_n → al₁ + bl₂
• Prodotto: X_nY_n → l₁l₂
• Quoziente: →

Teorema: Sottosuccessione

Sia X_n successione crescente di naturali; la successione composta X_kn si dice sottosuccessione. Se la successione converge ad l allora anche una sua sottosuccessione X_kn converge ad l, ossia se X_n → l anche X_kn → l.

Serie geometrica

Si definisce serie geometrica, ossia successione di somme parziali, S_n = 1 + q + q² + ... + q^n-1.

Rapporto tra limiti e relazione d'ordine

Sia a_n ≤ b_n ≤ c_n. Se a_n → l e c_n → l allora b_n → l.

Teorema della permanenza del segno

Se a_n → l, l>0 allora ∃ n’: n > n’ implica a_n > 0.

Corollario

Se a_n → l e a_n ≥ 0, ∃ n’: n > n’ implica l > 0.

Limiti e limitatezza

Se a_n → l, l ∈ R allora a_n è limitata. Se a_n è limitata, allora esiste una sottosuccessione a_kn tale che a_kn → l.

Algebra dei limiti

• l = ±∞
• ±∞ + ±∞ = ±∞
• ∞ + −∞ = indeterminato
• (±∞) × 0 = indeterminato

Gerarchia degli infiniti

• Se a_n > b_n → +∞, allora a_n è un infinito di ordine superiore
• Se a_n < b_n → +∞, allora a_n è un infinito di ordine inferiore
• Se a_n = b_n → ∞, allora a_n e b_n sono dello stesso ordine

Criterio del rapporto

Permette di discriminare fra infiniti e infinitesimi ed è applicabile a qualunque successione X_n > 0. Sia l = lim (X_n+1 / X_n) allora se 0 < l < 1, X_n è infinitesimo; se l > 1, X_n è infinito; se l = 1, il criterio è inconcludente.

Definizione universale di limite

Siano f: X → R, X ⊆ R e X ≠ ∅. X ⊂ R*, X punto di accumulazione; l ∈ R*.

Si dice che f(x) → l quando per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che 0 < |x − x₀| < δ implica |f(x) − l| < ε.

Proprietà universali del limite

• Unicità: per assurdo, se l₁ ≠ l₂, allora esistono x ∈ U tali che f(x) ∈ V₁ e f(x) ∈ V₂ ma è assurdo perché V₁ ∩ V₂ = ∅
• Limiti di restrizioni: se x è punto di accumulazione di X⁺ e di X^-, allora esistono limiti destro e sinistro; se sono uguali, allora esiste il limite.
• Permanenza del segno: se l > 0, allora esiste un intorno U di x tale che f(x) > 0 per tutti x ∈ U, x ≠ x₀.
• Teorema del confronto: se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per ogni x ∈ U intorno di x₀, allora se g(x) → l = h(x), anche f(x) → l.

Equivalenze

In generale, sia y = f(x₀) + m(x − x₀) la retta tangente al grafico nel punto x = x₀. Allora si può scrivere per x → x₀:

f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀).

Proprietà di o(x): o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x)); se g(x) ≈ h(x) allora o(g(x)) = o(h(x)).

Teorema di Weierstrass

Sia f: [a;b] → R, f continua nell'intervallo [a;b] chiuso e limitato. Allora f ha minimo e massimo su [a;b], cioè esistono due valori x₁, x₂ tali che f(x₁) = m e f(x₂) = M per ogni x ∈ [a;b].

Teorema degli zeri

Sia f: [a;b] → R, f continua in [a;b] e tale che f(a)f(b) < 0. Allora esiste c ∈ ]a;b[ tale che f(c) = 0.

Teorema di Bolzano

Sia f: I → R, I intervallo e f continua in I. Allora l'insieme dei valori di f(I) è anch'esso un intervallo: significa che se y₁ e y₂, con y₁ < y₂, sono valori assunti dalla funzione, allora anche ogni y ∈ ]y₁; y₂[ è valore assunto dalla funzione.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Sia f: [a;b] → R, f continua in [a;b] chiuso e limitato, allora f([a;b]) = [m;M], con m = minimo di f(x) e M = massimo di f(x).

Teorema sulla continuità

Sia f: I → J continua dall'intervallo I all'intervallo J = f(I). Allora f è invertibile con inversa continua f^-1: J → I se e solo se f è strettamente monotona.

Le derivate

La retta y = mx + q si definisce retta tangente in x = f(x₀) + m(x − x₀) + o(x − x₀) per x → x₀, m è la derivata di f nel punto x = x₀ e si scrive m = f’(x₀) = (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀).

Proprietà

Se f è derivabile in x₀, allora f è continua in x₀, ma il viceversa non è vero.

Operazioni

• (c₁f₁ + c₂f₂)’ = c₁f’₁ + c₂f’₂, ossia la derivata è un operatore lineare
• Prodotto: (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
• Reciproco: (1/f(x))’ = -f’(x)/f(x)²
• Quoziente: (f(x)/g(x))’ = (f’(x)g(x) - f(x)g’(x)) / g(x)²

Derivate di funzioni elementari

• c = 0
• xⁿ = nx^n-1
• sen x = cos x
• cos x = -sen x
• tan x = 1 + tan² x
• e^x = e^x

Derivate di funzioni composte

• f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)