Appunti Analisi 1

Legami tra derivata seconda e convessità e concavità

DEF. f si dice convessa su un intervallo I se: ∀ x₁, x₂ ∈ I e ∀ t ∈ [0,1] si ha f(tx₁ + (1-t)x₂) ≤ t f(x₁) + (1-t)f(x₂).

f si dice concava su I se ∀ x₁, x₂ ∈ I e ∀ t ∈ [0,1] si ha f(tx₁ + (1-t)x₂) ≥ t f(x₁) + (1-t)f(x₂).

Legami tra derivata seconda e convessità e concavità

DEF. f si dice convessa su un intervallo I se: ∀ x₁, x₂ ∈ I e ∀ t ∈ [0, 1] si ha f(tx₁ + (1-t)x₂) ≤ t f(x₁) + (1-t) f(x₂).

f si dice concava su I se ∀ x₁, x₂ ∈ I e ∀ t ∈ [0, 1] si ha f(tx₁ + (1-t)x₂) ≥ t f(x₁) + (1-t) f(x₂).

Teorema: caratterizzazioni della convessità

Teorema (Caratterizzazioni della convessità) sia f: I → R definita su un intervallo I derivabile due volte. Allora sono fatti equivalenti:

1. La funzione f è convessa su I.
2. Comunque si scelga x₀∈I si ha:

f(x) ≥ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) ∀x∈I.

f''(x) ≥ 0 ∀x∈I.

OSS(i) dice che f è convessa ⟺ f^''(x) > 0 ∀ x∈I,

Ma f^''(x) >=0 ⟹ f^'(x) è crescente su I.

OSS Caratterizzazione concavità: basta cambiare i segni nel teorema.

Definizione di punto di flesso

DEF. Sia f: I⟶ℝ derivabile due volte. Se x₀ è t.c. f^''(x₀) = 0 e f^'' cambia segno in x₀ ⟹ x₀ si dice punto di flesso.

Test della derivata seconda per estremi relativi

Teor (Test della derivata seconda per estremi relativi) Sia f:I→ℝ una funzione definita in un intervallo e derivabile due volte in un punto x₀ ∈ I. Allora:

• Se f'(x₀)=0 e f''(x₀) > 0 ⇒ x₀ è un punto di minimo locale.
• Se f'(x₀)=0 e f''(x₀) < 0 ⇒ x₀ è un punto di massimo locale.

Oss: se f''(x₀)=0 non possiamo dire nulla sulla natura del punto x₀.

Esercizio: tracciare il grafico di f(x) = (1 + ln x) / x

1. Determinare il dominio di f.

Dom(f) = {x ∈ ℝ | x > 0}

2. Scrivere il dominio come unione di intervalli:

Dom f = ]0, +∞[

3. Trovare i punti per cui f(x) = 0 e studiare il segno di f.

f(x) ⩾ 0.

N ⩾ 0 1 + ln x ⩾ 0.

D > 0 x > 0.

1 + ln x ⩾ 0.

ln x ⩾ -1.

x ⩾ e^-1.

4) Calcolare i limiti agli estremi del dominio.

lim_x→0⁺ (1 + ln x) / x = -∞ lim_x→+∞ (1 + ln x) / x = lim_x→+∞ 1/x + lim_x→+∞ ln x / x = 0.

5) Stabilire gli intervalli dove f è continua, derivabile, e derivabile due volte.

f(x) è il rapporto di due funzioni che sono continue sul loro dominio, derivabili infinite volte →, la funzione è derivabile infinite volte sul suo dominio.

3) Calcolare la derivata prima e la derivata seconda.

f'(x) = ¹⁄_x &CenterDot; x - (1 + ln x) &CenterDot; 1 ⁄ x² = = ^{1 - 1 - ln x}⁄_x² = - ^{ln x}⁄_x².

f''(x) = - ¹⁄_x &CenterDot; x² - ln x &CenterDot; 2x ⁄ x⁴ = - ^{x (1 - 2 ln x)}⁄_x⁴ = x (^{2 ln x - 1}⁄_x⁴).

7) Studiare il segno di f' per stabilire gli intervalli di monotonia ed eventuali estremi relativi.

f'(x) = -ln x x² > 0.

N > 0 -lnx > 0.

D > 0 x² > 0.

-ln x > 0 ⟺ ln x ≤ 0 ⟺ x ≤ 1.

segno f'.

f punto di max rel.

Calcoliamo f(1)= _{1 + ln 1}/¹ = 1.

8) Calcolare, se possibile, il valore di f negli estremi, e stabilire l'esistenza di massimi o minimi assoluti:

1 è punto di massimo assoluto e f(1) = 1.

non esiste il minimo assoluto perché _limx→0⁺ f(x) = -∞.

Sappiamo che Imm f = ]-∞, 1 ].

3) Studiare il segno della derivata seconda e determinare gli interv. di convessità:

f''(x) = ^{x (2lnx - 1)}/_x⁴.

N > 0.

D > 0.

x > 0.

2lnx - 1 > 0.

lnx > ¹/₂.

x > e^1/2 = √e.

3) Discutere l'esistenza di asintoti orizzontali o verticali.

x = 0 è asintoto verticale.

y = 0 è asintoto orizzontale a +∞.

e^-1√e.

Studio di funzione

1. Determinare il dominio di f e scriverlo come unione di intervalli: dom f = I₁ ∪ I₂ ∪ I₃ ...
2. Studiare il segno della funzione e calcolare le intersezioni con gli assi cartesiani.
3. Calcolare i limiti agli estremi degli intervalli I₁, I₂, I₃ ...
4. Determinare gli asintoti orizzontali e verticali.
5. Stabilire l'insieme di continuità di f e l'insieme di definizione di f' e f''.
6. Studiare il segno di f', determinando eventuali punti critici, cioè punti in cui f'(x)=0.
7. Determinare intervalli di monotonia ed estremi relativi (prestare attenzione).

agli estremi di I₁, I₂, I₃...

3) Studiare il segno di f'' determinando eventuali punti di flesso e gli intervalli di concavità e convessità.

3) Stabilire l'esistenza di massimo e minimo assoluto (e determinare l'immagine di f).

Teorema di de l'Hopital

Serve per calcolare limiti del tipo:

^lim⁄_x→x0 ^f(x)⁄_g(x), con ^lim⁄_x→x0 f(x) = ^lim⁄_x→x0 g(x) = 0 oppure ^lim⁄_x→x0 f(x) = ^lim⁄_x→x0 g(x) = ±∞.

es ^lim⁄_x→0 ¼x j ^lim⁄_{x→&plusinfin;} ¼x ≈ 0.

Teorema: de l'Hospital

Teorema (de l'Hospital) Date due funzioni f,g : I − {x₀} → &Ropf; dove I è un intervallo e x₀ &in; I tali che:

a) ^lim_x→x0 f(x) = ^lim_x→x0 g(x) = 0 oppure ^lim_x→x0 f(x) = ±∞ e ^lim_x→x0 g(x) = ±∞.

b) ∀x&in;I, x≠x₀ si ha g'(x)≠0.

c) esiste ^lim_x→x0 ^f'(x)/_g'(x) ∈ &Ropf; ∪ {±∞}.

Allora ^lim_x→x0 ^f(x)/_g(x) esiste e vale l.

Esempio

Calcolare ^lim_x→0 ^{sin x}/_x.

^lim_x→0 sin x = 0 e ^lim_x→0 x = 0 ⇒ a è soddisfatta.

b è soddisfatta perché (x)' = 1 ≠ 0.

c): ^lim_x→0 ^{cos x}/₁ = cos 0 = 1.

=> esiste _limx→0 ^sin x/_x = 1.

_limx→+∞ ^ln x/_x (il teorema vale anche nel caso x₀ = ±∞).

a): _limx→+∞ ln x = +∞ ; _limx→+∞ x = +∞.

Si ha: (x)¹=1 ≠0 => ♭ è indeterminata.

Calcoliamo _limx→+∞ ¹/₁ = _limx→+∞ ¹/_x = 0.

=> esiste _limx→+∞ ^ln x/_x = 0.

ATTENZIONE !!! Consideriamo _limx→π ^sin x/_x = 0 (NON È UNA FORMA IND.).

_limx→π ^cos x/₁ = -1 ≠ 0!

Esempio con forma indeterminata

ESEMPIO _limx→0 ^{x - sin x}/_x² è una forma indet. del tipo ⁰⁄₀. Proviamo ad appl il teorema di De l'Hop.

b) g'(x) = 3x² ≠ 0    ∀ x &in; I, x ≠ 0.

c) limx→01-cosx3x^2=16.

oppure, notiamo che questa è una forma indet. del tipo ⁰⁄₀. Riapplichiamo il teorema di de l'Hopital:

b) g'(x) = 6x ≠ 0    ∀ x &in; ℝ \ {0}.

c) limx→0sinx6x=16.

Esempio con esponenziale

ESEMPIO limx→∞e^xx^2 f.i.c. ^∞⁄_∞ → De l'Hopital.

b) g' (x) = 2x ≠ 0   se x ≠ 0.

c) limx→∞e^x2x.

Riepilogo de L'Hopital.

c) _limx→+∞ ^ex/₂ = +∞.

esiste _limx→+∞ ^ex/_2x = +∞.

esiste _limx→+∞ ^ex/_x² = +∞.

Esercizio: studio di funzione

Traccia un grafico qualitativo di f(x) = x e^-x2.

1. Dominio di f: ℝ.

Eventuali simmetrie: f(-x) = -x e^-(-x)2 == -x e^-x2 = -f(x) ➔ f è dispari (il grafico è simmetrico rispetto a 0).

2. Segno di f (ed eventuali intersezioni con gli assi).

x e^-x2 ≥ 0.

x ≥ 0 x ≥ 0 x ∈ ℝ ➔ f(x) ≥ 0 (⇔ x ≥ 0).

Nullo, x = x = 0 => f(0) = 0 e f(x) = 0 x e^-x2 = 0 x = 0.

3) Limite agli estremi del dominio.

lim_{x → +∞} x e^-x2 = lim_{x → +∞} x / e^x2.

Si ha: (x)' / (e^x2)' = 1 / (e^x2 . 2x) -> 0.

=> lim_{x → +∞} x / e^x2 = 0. Poiché la f è dispari => lim_{x → -∞} x / e^x2 = 0.

5) Si ha: f è il prodotto di x . e^-x2 che sono due funzioni continue => f è continua su tutto il dominio. f è il prodotto di due funzioni che sono derivabili infiniti volte - > f' e f'' esistono su tutto R.

6) Studio del segno di f' e monotonia.

f'(x) = 1.e^-x2 + x.(e^-x2.(-2x)) = = e^-x2 - 2x² e^-x2 = e^-x2 (1-2x²).

Studio del segno f'(x)>0 (<=>) e^-x2 (1-2x²) > 0 Poiché e^-x2 > 0 ∀ x ∈ R.

=> f'(x) > 0 (=>) 1-2x² > 0.

-2x² > 0 (<=>) x = ± ¹/_√2 =>

f'(x) > 0 (<=>) -¹/_√2 < x < ¹/_√2.

=> -¹/_√2 minimo relativo e ¹/_√2 massimo rel.

e f(¹/_√2) = -f(-¹/_√2) = ¹/_√2 • e^-(1/₂)= ¹/_√2 e^-1/2 = ¹/_√2 • √e = √^e/₂.

3) Studio f'' (concavità convessità).

f''(x) = -4x e^-x² ++(1-2x²) (e^-x² (-2x)) == -4x e^-x² - 2x e^-x² + 4x³ e^-x².

= 2x e^-x² ( -2-1 + 2x² ) = 2x e^-x² (-3+2x²).

f''(x) > 0 ⟺ ^{2x e-x²}/_F1 (^{-3 + 2 x²}/_F3) > 0.

F₁ ≥ 0 ⟺ 2x > 0 (⟺) x > 0.

F₂ ≥ 0 (⟺) e^-x² > 0 ⟹ x ∈ ℝ.

F₃ > 0 (⟺) 2x² - 3 > 0 (⟺) x 3/₂ ∪ x > √³/₂.

-√³/₂ 0 √³/₂.

^F₁/_F2 ^F₃ segno di f''.

-^√3/₂, 0, ^√3/₂ sono punti di flesso.

Det max e min assoluti, Imm f e asintoti:

Imm f = [-^√e/₂, ^√e/₂] dove -^√e/₂ è minimo assoluto, assunto in punto di min. ass. x = -^√1/₂ e ^√e/₂ è max ass. assunto in x = ¹/₂.

Asintoto orizzontale y=0 per x→±∞.

Esercizio: calcolo del limite

ESERCIZIO Calcolare il ^limx→0 ^{exsinx-cosx2-x2}/_x³.

forma indet del tipo ⁰/₀.

derivata del denom.: 3x²≠0 se x≠0.

Teorema di De l'Hopital: f'(x)/g'(x) = (e^x - cos x + sin x - 2x) / 3x².

f.i 0/0.

f''(x)/g''(x) = (e^x + sin x + cos x - 2) / 6x.

f.i 0/0.

f''(x)/g''(x) = 6.

esiste lim x→0 f(x)/g(x) = 1/3.

Integrali indefiniti

DEF. (primitiva) Data f : I → ℝ, con I intervallo, si chiama primitiva di f una funzione F : I → ℝ derivabile tale che F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I.

DEF (integrale indefinito) L'insieme di tutte le primitive di f si dice integrale indefinito e si denota con: ∫ f(x) dx = { F : I → ℝ derivab. a.c. F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I }.