Appunti di geometria e algebra lineare

Geometria 2022

αχ=b

Sistema compatibile: se ammette soluzioni se l’ultimo pivot non è nella colonna dei termini noti.

Determinati: se il numero di pivot è uguale al numero delle incognite. → Ammette una sola soluzione.

Indeterminati: quando il numero dei pivot (r) è diverso dal numero delle incognite (m) → ∞^m-r soluzioni.

Sistema incompatibile: se l’ultimo pivot della matrice completa appartiene alla colonna dei termini noti → Non ho soluzioni. (m=m)

Simmetria e antisimmetria

Simmetria A=A^T → a_i,j=a_j,i ∀ i ≠ j.

Antisimmetria A^T=-A → a_i,j=-a_j,i e a_i,i=0.

Matrice trasposta

Matrice trasposta: (A^t) = A = m × m A^t = m x m.

A = 0123₂₀₄³⁴⁵ → A^T = 0123₂₀₄³⁴⁵.

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici. Il n° delle colonne di A uguale a numero delle righe di B.

A = 12₃₄ B = 1-13₀₂₂.

A x B = (4*1)+(2*0)(1*-1)+(2*2)(1*3)+(2*2)(3*1)+(4*0)(-1*3)+(4*2)(3*3)+(4*2) = 137₃₅₁₇.

Geometria 2022

Ax = b

Sistema compatibile: se ammette soluzioni se l'ultimo pivot non è nella colonna dei termini noti.

Determinati: se il numero di pivot è uguale al numero delle incognite. Ammette una sola soluzione.

Indeterminati: quando il numero dei pivot (r) è diverso dal numero delle incognite (m) —> ∞^{m - r} soluzioni.

Sistema incompatibile: se l'ultimo pivot della matrice completa appartiene alla colonna dei termini noti —> Non ho soluzioni.

Simmetrie e antisimmetrie

Simmetrie: A = A^T —> a_ij = a_ji ∀ i ≠ j.

Antisimmetrie: A^T = -A —> a_ij = -a_ji e a_ii = 0.

Matrice trasposta

Matrice trasposta: (A^T) —> A = m x m A^T = m x m.

Prodotto tra matrici

Prodotto tra matrici: il n° delle colonne di A uguale a numero delle righe di B.

Matrici invertibili

A mxm è invertibile se ∃ A^-1 tale che AA^-1 = A^-1A = I_m.

Teorema di Binet

Dati 2 matrici AB ∈ M(2,2,R) si ha sempre det(AB) = detA・detB.

Matrice invertibile se detA ≠ 0 ⟺ ∃ A^-1 = ¹/_detA (d -b/-e a).

Inoltre se AB = I ・ BA = I ⟹ A si invertibile con A^-1 = B.

Calcolo della matrice inversa

A = 4 0 1 0 2 0 3 2 0.

1. Stabilire det e vedere se det ≠ 0.

detA = ^{(2 0)}/_{(2 0)} + ^{(0 1)}/_{(2 0)} = 0 + (-6) = -6 ≠ 0.

2. Nota che l'inversa si è.

A^-1 = ¹/_detA・(cof(a₁₁) cof(a₁₂) cof(a₁₃))^T⬜cof(a₂₁) cof(a₂₂) cof(a₂₃) ⬜cof(a₃₁) cof(a₃₂) cof(a₃₃).

3. Calcolo dei cofattori con la regola di Laplace.

cof(a_ij) = (-1)^i+j・det(A_i:j).

cof(a₁₁) = (-1)²・det_{(2 0)}/^{(2 0)} = 0.

cof(a₁₂) = (-1)³・det_{(0 0)}/^{(3 0)} = 0.

cof(a₁₃) = (-1)⁴・det_{(0 2)}/^{(3 2)} = -6.

cof(a₂₁) = (-1)³・det_{(0 1)}/^{(2 0)} = +2.

cof(a₂₂) = (-1)⁴・det_{(4 1)}/^{(3 0)} = -3.

cof(a₂₃) = (-1)⁵・det_{(4 0)}/^{(3 2)} = -2.

cof(a₃₁) = (-1)⁴・det_{(0 1)}/^{(2 0)} = -2.

cof(a₃₂) = (-1)⁵・det_{(4 1)}/^{(0 0)} = 0.

cof(a₃₃) = (-1)⁶・det_{(4 0)}/^{(0 2)} = 2.

Teorema di Cramer

Teorema di Cramer... matrici quadrate - detA ≠ 0 ⇒ sistema compatibile la cui unica soluzione è data da x_i = detA(i) / detA con i = 1...m, dove A(i) è la matrice ottenuta da A rimpiazzando la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

Esempio

x + 2y + 3z = 1

-x + y = -1

x + y + 4z = 2

Matrice A:

1 2 3

-1 1 0

1 1 4

detA = 3(^{-1 1}/_{1 4}) + 4(^{2 1}/_{1 1}) = 3 * (-2) + 4 * (-3) = -12 - 6 = -6.

Termini noti: ¹/_-1/².

det (1 2 3-1 1 02 1 4) = (^{1 1}/_{3 1}) + 4(^{1 1}