Appunti algebra lineare

Matrici reali

Diremo A una matrice reale n × m:

A ∈ M_n×m(ℝ)

A appartiene all'insieme di matrici di dimensioni n × m con righe e colonne, n righe e m colonne.

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)     (a₂₁ a₂₂ ... a_2m)     (... ... ... ... )     (a_n1 a_n2 ... a_nm)

Se n ≠ m la matrice è rettangolare.

In generale gli elementi di A si indicano con a_ij:

• I è l'indice di riga;
• J è l'indice di colonna.

n × m è detto ordine della matrice.

2 matrici per essere uguali devono avere le stesse entrate.

Matrici reali

Daremo A una matrice reale n × m:

A ∈ M^{n × m}(R)

A appartiene all'insieme di matrici di dimensioni n × m con righe e colonne, n righe e m colonne.

A = (a₁₁   a₁₂   -   a_1m a₂₁   a₂₂   -   a_2m a_n1   a_n2   =   a_nm )

Se n ≠ m la matrice è rettangolare.

In generale gli elementi di A si indicano con a_ij. I è l’indice di riga, j è l’indice di colonna, n × m è detto ordine della matrice.

2 matrici per essere uguali devono avere le stesse entrate.

Se n = m la matrice è quadrata.

Se la matrice è quadrata si può individuare la diagonale principale formata dagli elementi a_ii:

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)       (a₂₁ a₂₂ ... a_2m)       (a_m1 a_m2 ... a_mm)

Vettori

La matrice 1 × m è detta vettore riga:

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1m)

La matrice n × 1 è detta vettore colonna:

A = (a₁₁     a₂₁     a₃₁     a_n1)

Matrice simmetrica

Una matrice si dice simmetrica se:

• È quadrata;
• a_ij = a_ji, ∀ i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Matrice trasposta

A ∈ N^n×m (ℝ)

La sua trasposta ha ordine m × n.

Si indica con A^T, A^t, τA.

B = A^T ∈ N^m×n (ℝ)

b_ij = a_ji

1 ≤ j ≤ n

1 ≤ i ≤ m

Es.:

A = (1 0 2)   (-1 2 -4)

A^T = (1 -1)   (0 2)   (2 -4)

Somma tra matrici

Si fa una somma per componenti, quindi le matrici devono essere dello stesso ordine.

A, B ∈ M_n×m (ℝ)

C = A + B

A = (a_i,j), B = (b_i,j) con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

C ∈ M_n×m (ℝ)

C_i,j = a_i,j + b_i,j

La somma è un'operazione interna perché sommando due matrici dello stesso ordine si ottiene una matrice dello stesso ordine.

Gode delle proprietà della somma: commutativa e associativa.

L'elemento neutro della somma è una matrice con tutti 0 (matrice nulla).

Prodotto per uno scalare

A ∈ M^m×n(R), λ ∈ R

λ è uno scalare.

λA ∈ M^m×n(R)

b_i,j = λa_i,j

Prodotto riga per colonna

Prodotto fra vettore riga e vettore colonna

A ∈ M^1×n(R), B ∈ M^n×1(R)

Devono avere lo stesso n° di elementi.

Il risultato è uno scalare.

A = (a_i1 a_i2 ... a_in)

B = (b_i1 b_i2 ... b_in)

A · B è un prodotto componente per componente.

A · B = a_i1b_i1 + a_i2b_i2 + ... + a_inb_in

Gode della proprietà commutativa.

A ∈ M^n×l(ℝ), B ∈ M^l×m(ℝ)

C = A · B ∈ M^n×m(ℝ)

C_ij = (a_i1 a_i2 ... a_il) = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ilb_lj

∃: 2×3 3×2 ⇒ C ∈ M^2×2

= rⁿ r^iga A · cⁿ colonna B

= (1 + 0 = 1 -1 + 6 + 1) = (0 6)

= (3 + 0 + 0 -3 + 7 + 0) = (3 -6)

A · B

N° colonne di A = n° righe B.

(AB)C = A(BC) è associativo.

Non è commutativo.

AB ≠ BA

AB e BA sono ben definiti ⇔ A m×r e B r×n.

Tra matrici quadrate il prodotto è un'operazione interna.

Matrice identità

Esiste solo per le matrici quadrate.

Matrice identità 2×2: (1   0)   (0   1)

Deve avere sulla diagonale principale tutti 1 e sulle altre entrate 0.

Determinante matrice quadrata

A ∈ M _n×n (R)

a_ij minore complementare

A_ij ∈ M_(n-1)×(n-1) (R)

(Sottomatrice di A) ottenuta da A eliminando la i-esima riga e j-esima colonna.

A = 2   0   1   3   4   -1   1   1

La minore complementare di a₂₂ è:

A₂₂ = 2   1   1   1

Formula di Laplace

A ∈ M_1x1 (R) ⇒ A = (a)

det A = a

Fisso una riga i: (o la colonna)

det A = (-1)ⁱ⁺¹ a_i1 det A_i1 + ... + (-1)ⁱ⁺² a_i2 det A_i2 + (-1)ⁱⁿ a_in det A_in == Σ_j=1ⁿ (-1)^i+j a_ij det A_ij

A = | a b |      | c d |

Fisso la i^a riga.

det A = (-1)¹⁺¹ a₁ det d + (-1)¹⁺² b^c = ad - bc

Fisso la i^a riga.

det A = ad - bc

Matrice diagonale

Come quella identità ma ha al posto di 1 dei valori.

A = (a₁₁ 0 0   0 a₂₂ 0   0 0 a_nn)

Proprietà dei determinanti

1. Il det di una matrice con una riga (o colonna) interamente nulla è 0.
2. det A = det A^T
3. Det di una matrice diagonale (gli elementi sulla diagonale hanno esponente pari): det A = a₁₁ a₂₂ ... (-a_nn)
4. Det di una matrice triangolare: det A = a₁₁ a₂₂ ... (-a_nn)
5. Se scambio tra loro 2 righe (o colonne) una volta il determinante cambia di segno.
6. Se moltiplico una riga per ╬╗ δ in ╬ö allora il det di A:

det A = ╬╗ det A

Matrice triangolare

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1n   0 a₂₂ ... a_2n   0 0 ... a_nn)

Triangolare superiore: quindi al di sotto della diagonale principale ha tutti 0.

Sottomatrice

A ∈ M_n×m (ℝ), 1 ≤ p ≤ n e q ≤ m.

Posso estrarre una matrice che si chiama sottomatrice.

Matrice a scalini

A ∈ M_n×m (ℝ) a scalini ⇔ se:

1. Se una riga è nulla tutte le successive sono nulle;
2. Il primo elemento non nullo di una riga è più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.

Il 1° elemento non nullo, nella matrice a scalini, su ogni riga, si chiama pivot.

Teorema

Ogni matrice A ∈ M_n×m(R) può essere ridotta a scalini mediante le seguenti operazioni:

1. Scambio di righe: r_i ↔ r_j;
2. Sostituzione di una riga con un suo multiplo: r_i → b r_i, b ∈ R \ {0};
3. Sostituzione di una riga con la stessa, a cui viene aggiunto il multiplo di un'altra riga: r_i → r_i + λ r_j, λ ∈ R \ {0}, r_i ≠ r_j, j ≠ i.

(Vale anche per le colonne)

1. det A = det A';
2. A triangolare ⇒ det A = a₁₁ a₂₂ ... a_nn;
3. Uno scambio di righe inverte il segno;
4. Se moltiplico una riga per h, anche il determinante è moltiplicato per h;
5. Se aggiungo ad una riga una combinazione lineare delle altre, il determinante non cambia;
6. Se una riga è tutta nulla ⇒ det = 0;
7. Se una riga è combinazione lineare delle altre il det = 0.