Anello, Campo, Spazio Vettoriale e Matrici su un campo (Teoria ed Esempi)

Anello

Sia A un insieme e siano +: A × A → A e •: A × A → A due operazioni definite su A. La struttura (A, +, •) si dice anello se:

1. (A, +) è un gruppo abeliano.
2. L’operazione • è associativa.
3. Valgono le 2 leggi distributive del prodotto rispetto alla somma: a • (b + c) = a • b + a • c; (a + b) • c = a • c + b • c per ogni a, b, c ∈ A.

Operazione • commutativa → anello commutativo.

Operazione • con elemento neutro → anello unitario.

Esempi

(ℕ₀, +, •) non è un anello perché (ℕ₀, +) non è un gruppo.

(ℤ, +, •) è un anello commutativo unitario.

(ℚ, +, •)       u  u.

(ℝ, +, •)       u  u.

(ℂ, +, •)       u  u.

(ℙ(A), ∪, ∩) non è un anello perché (ℙ(A), ∪) non è un gruppo.

Consideriamo l'insieme P = {2m / m ∈ ℤ} dei numeri pari. Se x, y ∈ P => x + y ∈ P e x ⋅ y ∈ P e dunque sono definite le operazioni:

+: P × P → P.

•: P × P → P.

La struttura (P, +, •) è un anello perché (P, +) è un gruppo abeliano, l’operazione • è associativa e valgono le leggi distributive. Tale anello è commutativo ma non unitario perché in P non esiste elemento neutro rispetto all’operazione •.

Anello

Sia A un insieme e siano +: A x A → A e ⋅: A x A → A due operazioni definite su A. La struttura (A, +, ⋅) si dice "anello" se:

1. (A, +) è un gruppo abeliano.
2. L'operazione ⋅ è associativa.
3. Valgono le 2 leggi distributive del prodotto rispetto alla somma: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; ∀ a, b, c ∈ A.

Operazione ⋅ commutativa → anello commutativo.

Operazione ⋅ con elemento neutro → anello unitario.

Esempi

(N₀, +, ⋅) non è un anello perché (N₀, +) non è un gruppo.

(Z, +, ⋅) è un anello commutativo unitario.

(Q, +, ⋅)          u            u.

(R, +, ⋅)          u            u.

(C, +, ⋅)          u            u.

(P(A), ∪, ∩) non è un anello perché (P(A), ∪) non è un gruppo.

Consideriamo l'insieme P = {2m / m ∈ Z} dei numeri pari. Se x, y ∈ P → x + y ∈ P e x ⋅ y ∈ P e dunque sono definite le operazioni:

+: P x P → P.

⋅: P x P → P.

La struttura (P, +, ⋅) è un anello perché (P, +) è un gruppo abeliano, l'operazione ⋅ è associativa e valgono le leggi distributive. Tale anello è commutativo ma non unitario perché in P non esiste elemento neutro rispetto all'operazione ⋅.

Campo

È un anello unitario commutativo (A, +, ·) in cui ogni elemento ≠ 0ó ha un elemento neutro rispetto a + è invertibile rispetto a ·.

Esempi

(ℤ, +, ·) non è un campo perché gli unici elementi invertibili rispetto all'operazione · sono -1 e +1.

(ℚ, +, ·) campo razionale.

(ℝ, +, ·) campo reale.

(ℂ, +, ·) campo complesso.

Campi finiti

Sia A = {0,1} dove 0,1 sono per il momento solo due simboli.

Definiamo su A un'operazione +: A x A -> A definita al modo seguente:

0 + 0 = 0.

0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1.

1 + 1 = ?

Se vogliamo che (A, +) sia un gruppo dobbiamo porre 1 + 1 = 0. Se ponessimo 1 + 1 = 0 l'elemento 1 non sarebbe invertibile, cioè ∄ X ∈ A: 1 + X = 0.

Definiamo su A un'operazione ·: A x A -> A al modo seguente:

0 · 0 = 0.

0 · 1 = 1 · 0 = 0.

1 · 1 = 1.

Si può verificare che la struttura (A, +, ·) è un campo, dove 0 è l'elemento neutro rispetto all'operazione + e 1 l'elemento neutro rispetto all'operazione ·. Questo campo finito si denota con il simbolo GF(2), ovvero "Galois Field of order 2", cioè "campo di Galois di ordine 2", è il più piccolo campo finito. Esistono campi finiti di ordine p^m dove p è un numero primo e m ∈ ℕ.

GF(p^m).

Spazi vettoriali su un campo

Sia (K, +, ·) un campo. Denotiamo con 0 l'elemento neutro rispetto all'addizione e con 1 l'elemento neutro rispetto all'operazione ·.

Consideriamo:

K^m = K x K x K x ... x K = { (x₁, x₂, ..., x_m) / x_i ∈ K } con m ∈ ℕ.

Vogliamo definire su K^m una struttura di spazio vettoriale.

Gli elementi di K^m si dicono vettori numerici, ad esempio (0,0,0,...) è detto vettore numerico nullo di K^m.

Definiamo un'operazione interna di addizione in K^m +: K^m x K^m -> K^m al modo seguente:

(x₁, x₂, ..., x_m) + (y₁, y₂, ..., y_m) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m) ∈ K.

Esempi in K^m

(1, 0, 2) + (2, 1, 2) = (3, 1, 3) in K³.

(0, -1, 5) + (3, 1, 6) = (3, 0, 1).

L'operazione +: K^m x K^m -> K^m è associativa.

Dim. Posto (x₁, ..., x_m) = (y₁, ..., y_m) = (z₁, ..., z_m) ==> x + (y + z) = (x₁, ..., x_m) + ((y₁, ..., y_m) + (z₁, ..., z_m)) == (x₁, ..., x_m) + (y₁ + z₁, ..., y_m + z_m) = ((x₁ + (y₁ + z₁)), ..., x_m + (y_m + z_m)) == per la proprietà associativa di +: K x K -> K == ((x₁ + y₁) + z₁, ..., (x_m + y_m) + z_m) == ((x₁, ..., x_m) + (y₁, ..., y_m)) + (z₁, ..., z_m) = (x + y) + z.

Elemento neutro e invertibile di K^m

In K^m 0 è elemento neutro rispetto all'operatore +: K^m x 0 = (x₁, ..., x_m) + (0, ..., 0) = (x₁, ..., x_m).

Dunque lo vettore numerico nullo (0, ..., 0) è l'elemento neutro rispetto all'operazione +: K^m x K^m -> K^m.

Ogni elemento di K^m è invertibile rispetto all'operazione +: K^m x X^m -> K^m, infatti ∀ (x₁, ..., x_m) ∈ K^m, ᵪ ha (x₁, ..., x_m) + (-x₁, ..., -x_m) = (0, ..., 0) = (-x₁, ..., -x_m) + (x₁, ..., x_m).

Inoltre l'operatore +: K^m x K^m è commutativa, infatti = (y₁ + x₁, ..., y_m + x_m) = (y₁, ..., y_m) + (x₁, ..., x_m).

In definitiva abbiamo verificato che (K^m, +) è un gruppo abeliano.

Operazione esterna in Kⁿ

In K, definiamo un'operazione esterna: K × Kⁿ → Kⁿ al modo seguente:

Dato a ∈ K e (x₁, ..., x_n) ∈ Kⁿ, poniamo a · (x₁, x₂, ..., x_n) = (a · x₁, a · x₂, ..., a · x_n).

∀ a ∈ K, ∀ x, y ∈ Kⁿ si verifica che: a · (x + y) = a · x + a · y infatti:

Dim: a · (x + y) = a · (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n) = a · (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n) == (a · x₁ + a · y₁, ..., a · x_n + a · y_n) per la prop. distributiva nel campo K == (a · x₁, ..., a · x_m + a · y_n) = a · x + a · y.

∀ a, b ∈ K e ∀ x ∈ Kⁿ si ha:

(a + b) · x = a · x + b · x => => (a, b) · x = (a · b) · (x₁, ..., x_n) = ((a + b) · x₁, ..., (a + b) · x_n) = per la proprietà distributiva nel campo K = (a · x₁ + b · x₁, ..., a · x_m + b · x_m) = a · x + b · x.

∀ a, b ∈ K e ∀ x ∈ Kⁿ in che:

(a · b) · x = a · (b · x).

Infatti: => (a · b) · x = (a · b) · (x₁, ..., x_n) = ((a · b) · x₁, ..., (a · b) · x_n) = per la proprietà associativa dell'operazione ·: K × K → K == (a · (b · x₁), ..., a · (b · x_n)) = a · (b · x₁, ..., b · x_m) == a · (b · (x₁, ..., x_n)) = a · (b · x).

Definizione di spazio vettoriale su un campo K

Sia V un insieme.

V dice spazio vettoriale sul campo K se sono definite due operazioni: V x V → V (interna) e •: K x V → V (esterna) tali che:

1. (V, +) è un gruppo abeliano.
2. a₁(µ + ν) = a₁µ + a₁ν.
3. (a + β)µ = aµ + βµ.
4. (a • β) • µ = a • (β • µ).
5. 1 • µ = µ.

∀ a, β ∈ K ∀ µ, ν ∈ V.

Abbiamo quindi verificato che l'insieme V = K^m è uno spazio vettoriale sul campo K, detto spazio vettoriale numerico di ordine m sul campo K.

∀ x ∈ Kⁿ, si ha: 1 • x = x, infatti 1 • x = 1 • (x₁, ..., x_n) = (1 • x₁, ..., 1 • x_n) = (x₁, ..., x_n) = x.

Essendo (V, +) un gruppo abeliano, in V l'+ quelle che l'elemento neutro rispetto all'operazione +, del vettore nullo di V è si denomina con Q.

Dunque si ha: x + Q = Q + x = x ∀ x ∈ V.

Inoltre, essendo (V, +) un gruppo, ogni elemento di V è invertibile se ∈ V e il numero di V rispetto all'operazione + e si denota con -x.

Dunque: ∀ x ∈ V ∃ -x ∈ V ∣ x + (-x) = (-x) + x = Q.

Esempio

In Kⁿ il vettore nullo è Q = (0, 0, ..., 0).

Quello di ℝ² è (0, 0).

Quello di ℝ⁴ è (0, 0, 0, 0).

Matrici su un campo

Sia K un campo.

Si definisce matrice di tipo m x m su K una tabella formata da m righe ed n colonne i cui elementi ∈ K:

A = (  a₁₁ a₁₂ ... a_1m  a₂₁ a₂₂ ... a_2m (   .  a_n1 a_n2 ... a_nm))

a_ij ∈ K.

Ogni elemento a_ij della matrice A è rappresentato da due indici:   i = indice di riga,  j = indice di colonna.

Esempio 1

A = (  0  4  -1  2  0  3 (  0  -2  4)) matrice di tipo 3x4.

a₁₁ = 0.

a_m1 = -1.

a₂₃ = 3.

A può essere su qualunque campo K. Infatti gli elementi devono 0,1 ∈ K, ma anche -2 = 1 + 1 ∈ K, 3 = 1 + 1 + 1 ∈ K, -1 = -2 – (-1 + 1) ∈ K.

Esempio 2

La matrice A = (  0  2  5  6  3  -8 (  0   3)) può essere definita nel campo EF(2), in tale caso:

  0  2  5  0   3 (  0   3))

Infatti  2 = λ + λ = 0       0 = λ + λ + λ + λ = 4 - λ = λ   perché λ - λ = 0   3 = λ + λ + λ = λ.

Definiamo con K^m,n l'insieme formato da tutte le matrici di tipo m x m su campo K e in esso l'operazione (colonne: k^m,n + k^m,n → K^m,n).

Notazione

(  a₁₁ a₁₂ ... a_1M  a₂₁ a₂₂ ... a_2M ( a_m1 a_m2 ... a_mM)) + (  b₁₁ b₁₂ ... b_1M  b₂₁ b₂₂ ... b_2M  b_m1 b_m2 ... b_mM) = (  a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ ... a_1M + b_1M  a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ ... a_2M + b_2M a_m1 + b_m1 a_m2 + b_m2 ... a_mM + b_mM).

Esempio

In K_1,3

( 1 1 2 ) + ( 3 2 1 ) = ( 1 3 3 )

( 5 0 2 ) ( 0 7 1 ) ( 5 7 3 )

( 0 4 0 ) ( 0 0 3 ) ( 0 4 3 )

In GF(2^2,2)

( a 1 ) + ( 1 0 ) = ( a 1 )

( u 0 ) ( –1 2 ) ( u u )

ma a ʘ 1 + a ʘ 2 ≠ 0 e quindi:

( 1 0 )

( 0 0 )

In maniera analoga al caso di K^m si può dire che:

1. (K^m,n, +) è un gruppo abeliano.
2. L'elemento neutro è la matrice di m x n nulla ( 0 0 ... 0 ), mentre l'inverso della matrice ( 0 0 ... 0 ) ( a₁₁ a₁₂ ... a_1m ) ( a₂₁ a₂₂ ... a_2m ) ( a_m1 a_m2 ... a_mm ) è la stessa ma con gli elementi questa volta negativi.

Operazione esterna matrici

Definiamo: k x K_m,n = K^m,n.

Notazione

( a₁₁ a₁₂ ... a_1m ) ( a₂₁ a₂₂ ... a_2m ) ( a_m1 a_m2 ... a_mm ) = ( k–a₁₁ k–a₁₂ ... k–a_1m ) ( k–a₂₁ k–a₂₂ ... k–a_2m ) ( k–a_m1 k–a_m2 ... k–a_mm ).

Esempio

In K^1,3

( 5 λ 2 ) ( –λ 2 λ )

( 0 1 3 ) ( 0 –2 –6 )

Analogamente a quanto visto per K^m si può verificare che:

2. K · (A + B) = k · A + k · B.
3. (h + k) · A = h · A + k · A.
4. (h · k) · A = h · (k · A).
5. 1 · A = A.

K^m,n è detto spazio delle matrici di tipo m x n sul campo K.