Introduzione algebra lineare applicazioni insiemi gruppo abeliano anello campo spazio vettoriale

Algebra lineare e geometria analitica

Libro: Algebra lineare e geometria analitica

Tutto il concetto di algebra lineare si basa sullo spazio vettoriale.

Uno spazio vettoriale è un insieme qualsiasi V che rettifica opportune proprietà. Come insieme V possiamo scegliere ad esempio:

• V = _x dello spazio geometrico
• V = matrici
• V = polinomi
• V = {funzioni reali}

Insiemi e prodotto cartesiano

Supponiamo di avere due insiemi A e B insiemi.

A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} → differenza tra insiemi

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano

A × B = {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

(x,y) = coppia ordinata => x = prima componente y = seconda componente

Esempio

A = {1,2,3}, B = {3,4}

A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}

A × B × C = {(x,y,z) | x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}

A₁ × A₂ × ... × A_n = {(x₁,x₂,...,x_n) | x_i ∈ A_i, i = 1,...,n} n-uple ordinato

Prodotto cartesiano di un insieme per se stesso

Aⁿ = A × A × ... × A = {(x₁,x₂,...,x_n) | x_i ∈ A, i = 1,...,n}

L'insieme delle parti è l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

P(A) = {X | X ⊂ A}

A = {1,2,3} → P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, A}

Siano A e B due insiemi, un'applicazione di A in B è una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B.

A = dominio

B = codominio

Algebra lineare e geometria analitica

Libro:

Tutto il concetto di algebra lineare si basa sullo spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale è un insieme qualsiasi V che rettifica opportune proprietà.

Come insieme V possiamo scegliere ad esempio:

• V = _x vettori geometrici
• V = X matrici
• V = a polinomi
• V = Z funzioni reali

Sappiamo di avere due insiemi.

A e B insiemi.

A ∪ B = _x ∈ A oppure x ∈ B

A ∩ B = _x ∈ A e x ∈ B

A \ B = _x ∈ A e x ∉ B _{→ differenza tra insiemi}

Prodotto cartesiano

A × B = {(x, y)/ x ∈ A, y ∈ B}

(x, y) = coppia ordinata => x = prima componente y = seconda componente

x ≠ y

Esempio

A = _{1, 2}, B = _{3, a} B = _{3(2,a)(2a)(3,1)3b}

A × B × C = _{x, y, z} / _{x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}

A_x A = x_{i ∈ A} => x_{xi ∈ β} = {1...n)

L'insieme delle parti è l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

P(A) = {X/ X ⊆ A}

Siamo A e B due insiemi, un'applicazione di A in B è una corrispondenza che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B.

Pf: A → B ∀ x ∈ A → f(x) ∈ B

Immagine di x tramite f.

Applicazioni

Esempio

f: N → N → x² ∈ N

Questa applicazione è iniettiva ma non suriettiva perché esistono i ∈ N degli elementi per i quali non esiste alcun x se discusso e differente se prendiamo in considerazione un altro insieme di definizione.

Una applicazione φ: A → B si dice iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

∀ x,y ∈ A, x ≠ y ⇒ φ(x) ≠ φ(y)

Una applicazione φ: A → B si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A φ(x) = y

Un'applicazione φ: A → B si dice invertibile se è iniettiva e suriettiva.

φ: A → B

φ^-1: B → A (graficamente basta invertire il verso della freccia)

Esempio

Z → Z, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

g: x ∈ Z → x² ∈ Z applicazione non iniettiva né suriettiva

g(x) = g(x)

Basta combinare dominio e codominio di un'applicazione per cambiare l'applicazione stessa.

Operazioni sugli insiemi

L’operazione di addizione può essere pensata come un’applicazione tra due insiemi:

₊: N × N → N

(x, y) ∈ N × N = x + y ∈ N

L’operazione di moltiplicazione può essere pensata come un’applicazione tra due insiemi:

_×: N × N → N

(x, y) ∈ N × N = x × y ∈ N

Sia A un insieme, un’operazione binaria interna definita su A è un'applicazione _○: A × A → A stata (come generica operazione).

Sia A un insieme e (A) l’insieme delle parti di A.

(×): ((A) × (A) → (A) Operazione binaria interna definita su ((A)

(∩): ((A) × (A) → (A) Operazione binaria interna definita su ((A)

Un'operazione ☆: A × A → A definita su A, si dice associativa se:

x☆(y☆z) = (x☆y)☆z ∀ x,y,z ∈ A

Un'operazione ☆: A × A → A definita su A si dice commutativa se:

x☆y = y☆x ∀ x,y ∈ A

Esempi

• -: Z × Z → Z operazione

La sottrazione non è né associativa né commutativa.

+: N × N → N

Un'operazione sia associativa che commutativa.

·: N × N → N

Un'operazione sia associativa che commutativa.

∪: (A) × (A) → (A) → (A)

x ∪ (y ∪ z) = (x ∪ y) ∪ z

L'operazione ∪ è sia associativa che commutativa, come lo è ∩ (l'intersezione).

Elemento neutro

Sia ☆: A × A → A un'operazione definita su A, un elemento e ∈ A si dice elemento neutro se:

x ☆ e = e ☆ x = x ∀ x ∈ A

Esempi:

• (N, +) 0 è elemento neutro
• (Z, -) né 0 è elemento neutro
• (R, ·) 1 è elemento neutro
• (R, +) 0 è elemento neutro
• (P, -) né 0 è elemento neutro
• (N\{0}, ·) non è elemento neutro
• (A, ⊂) ∅ è l'elemento neutro, come in tutti gli altri insiemi.
• ((A), ∪) ∅ è elemento neutro (∅∪Z = X∪∅ = ∅ Slx = ∀ x ∈ ^((A))
• ((A), ∩) ∅ è elemento neutro (∅∩Z = x∩∅ = ∅ ∀ x ∈ (A))

P = numeri pari {2n | n ∈ Z} ∩ {x | x ≠ p, ∃ x, y, x = l, p} → x ∈ P

((A), ∩) ∅ è elemento neutro (perché ci stiamo riferendo solo a numeri pari).

Sia *: A x A -> A un'operazione definita su A.

Se in A esiste un elemento neutro, esso è unico.

dim

Siano e₁ e e₂ ∈ A elementi neutri.

x * e₁ = x = e₁ * x (perché e₁ è elemento neutro)

x * e₂ = x = e₂ * x (perché e₂ è elemento neutro)

=> e₁ = e₂

Elemento invertibile

Sia *: A x A -> A un'operazione definita su A dotata di elemento neutro e e ∈ A.

Un elemento x ∈ A si dice invertibile se esiste un elemento x' ∈ A tale che:

x' inverso di x x * x' = e = x' * x e e è l'unico elemento di A tale che:

*x composto x da l'elemento neutro.

L'elemento neutro è invertibile e coincide con il suo inverso:

e * e = e

Esempi:

• (Z, +) 0 elemento neutro
• 0 non è invertibile
• ℤ m ℤ rispetto alla moltiplicazione, 1 e -1 sono gli unici elementi invertibili
• (N, +) 0 elemento neutro
• 0 è l'unico elemento invertibile
• (Z, ·) 0 elemento neutro
• ℤ m Z ogni elemento è invertibile
• (Q, ·) 0 elemento neutro
• Anche in Q ogni elemento è invertibile
• (P(A), ∪) ∅ elemento neutro
• SO ∅ è invertibile
• (G(A)n, ∪) A elemento neutro

V EC (IAP) invertibile => V (A) ∩ G(AC) ∩ X ∪ X' = A => X = A => A è l'unico elemento invertibile.

Sia *: A x A -> A un'operazione definita su A dotata di elemento neutro e e ∈ A.

Ogni elemento invertibile possiede un unico inverso.

X è l'unico elemento invertibile.

dim

Siano x, x₁, x₂ inversi di x ∀ X.

x * x₁ = e = x₁ * x = x * x₂ = e = x₂ * x

x₁ = e * x₁ = (x * x₂) * x₁ = x * (x₂ * x₁) = x * (e) = x

Gruppi

Sia G un insieme e a * : G x G -> G un'operazione definita in G.

La struttura (G, *) si dice un gruppo se:

• * è associativa
• Esiste in G l'elemento neutro e
• Ogni elemento di G è invertibile

Se * è anche commutativa il gruppo si dice gruppo abeliano.

Esempi:

• (N, +) non è un gruppo perché la (3) non vale
• (Z, +, −) è un gruppo abeliano
• (Q, +, −) è un gruppo abeliano
• (R, +, −) è un gruppo abeliano
• (C, +, −) è un gruppo abeliano
• (N, *) Non è un gruppo
• (Z, *) Non è un gruppo perché (∅) non è invertibile -> la (3) non vale
• (Q, *) Non è un gruppo perché 0 non è invertibile -> la (3) non vale
• (R, *) Non è un gruppo perché 0 non è invertibile -> la (3) non vale
• (QA, *) è un gruppo abeliano
• (PG, ⋃) è un gruppo
• (PG, ⋂) è un gruppo
• (PG, ∖) è un gruppo abeliano

Anelli e campi

Esempi:

• (No, +, *) Non è un anello
• (N, +, *) è un anello non banale commutativo
• (Z, +, *) è un anello unitario commutativo
• (Q, +, *) è un anello unitario commutativo
• (R, +, *) è un anello unitario commutativo
• (C, +, *) è un anello unitario commutativo

Sia (P, +, ⋅) un anello commutativo ma non unitario.

Un campo è un anello unitario commutativo (K, +, ⋅) in cui ogni elemento ≠ 0 (elemento neutro rispetto alla somma) è invertibile rispetto a ⋅.

Esempi:

• (Z, +, *) non è un campo
• (Q, +, *) campo razionale
• (R, +, *) campo reale
• (C, +, *) campo complesso

K = {0, 1}

+0 + K -> K

0 + 0 = 0

1 + 0 = 0 + 1 = 1

1 + 1 = 0:

K x K -> K

0 · 0 = 0

0 · 1 = 1 · 0 = 0

1 · 1 = 1

Campo più piccolo possibile con 2 elementi.

GF(2)

GF = Galois Fields = Campo di Galois.

GFp con p numero primo, n ∈ N [1 non è numero primo]

Vettori numerici

K campo, n ∈ Kⁿ = K x K x K x ... x K = { (x₁, x₂,..., x_n)/ x_i ∈ K }_{i = 1,...,n}

+: Kⁿ x Kⁿ -> Kⁿ

(x_i, x₂,..., x_n) (y₁, y₂,..., y_n) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂,...,x_n + y_n) ∈ Kⁿ

(x₁, x₂,..., x_n) vettore numerico di ordine n.

(0, 0, 0,..., 0) = vettore numerico nullo.

(x₁ + x₂, x₃ + x₄) = { (0, 0, 1, 0, 1, 2, 3), (4, 1, 2), (3) } = (3, 0, 1, 2, 4)

Dimostriamo che Kⁿ è uno spazio vettoriale sul campo K = spazio vettoriale numerico di ordine n su K. Per dimostrarlo, usiamo le proprietà del campo.

(Kⁿ, +) è un gruppo abeliano.

dim

(x₁,..., x_n) (y_i,..., y_n) (z₁,..., z_n) ∈ Kⁿ

x + (y + z) (x₁,..., x_n) + ((y₁,.., y_n) + (z₁,..., z_n))

(x₁,..., x_n) + (y₁ + z₁,..., y_n + z_n)

(x₁ + (y₁₁ + z₁), ... , x_n + (y_n + z_n))

= (x₁ + y₁ + z₁,..., x_n + y_n + z_n)

= (x₁ + y₁ + (z_1I), ..., (x_n + y_n) + (z_n)

(x₁ + y₁,...,x_m + y) + z

(0, ..., 0) elemento neutro rispetto

αKⁿ (y_i,...,y_n) + (x₁,...,x_n) = (0,0,0,...,0) ogni elemento è invertibile.

a ∈ K, (x₁,..., x_n) ∈ Kⁿ

α . (x₁, x₂,... a_n) = (a_x, a₂x₁, ..., a_n)

(ax₁, ax₂,, ax_n) (ax x₁),...,ax_n)

(x + y) 2 . x + 2 + y_X

(0 x + 1) + ax_n+1xⁿ

a(y₁ + y),..., y_n + a_y)

(3) (a+b)·x = a·x + b·x

dim

(a+b)·x = (a₁+b₁, ..., a_n+b_n)·(x₁, ..., x_n) == ((a₁+b₁)·x₁, ..., (a_n+b_n)·x_n) = (a₁·x₁+b₁·x₁, ..., a_n·x_n+b_n·x_n) == (a₁·x₁, ..., a_n·x_n) + (b₁·x₁, ..., b_n·x_n) = a·x + b·x

(4) (a·b)·x = a·(b·x)

L’è associativa.

dim

(a·b)·x = (a·b)·(x₁, ..., x_n) = ((a·b)·x₁, ..., (a·b)·x_n) == (a·(b·x₁), ..., a·(b·x_n)) = a·(b·x₁, ..., b·x_n) = a·(b·x)

(5) 1_K·x = x

dim

1_K·x = 1_K·(x₁, ..., x_n) = (1_K·x₁, ..., 1_K·x_n) = (x₁, ..., x_n)

Abbiamo dimostrato che Kⁿ è uno spazio vettoriale sul campo K.

Spazio vettoriale

Sia V un insieme K un campo.

V si dice spazio vettoriale sul campo K se sono definite due operazioni:

• V + V → V interno + tale che:
• V × V → V esterno tale che:

(V, +) è un gruppo abeliano.

(a·b)·u = a·(b·u)

1·u = u

a·(u+v) = a·u + a·v

(a+b)·u = a·u + b·u

Matrice

Una matrice è una tabella formata da m righe ed n colonne con elementi su un campo K.

A = (a_ij)

a_ij ∈ K

I = indice di righe

J = indice di colonne

dim = m × n

tipo 3×10 3

A = 1 2 0 6

Gruppo

GF(2)

0 1

H = 1 0

K^m×n = matrici di tipo m×n su K³ⁿ {K^Km×n = K^m×n

(a_{1 1} a_{1 n})(a_ij)(a_{m 1} a_{m n}) + (b_{1 1} b_{1 n})(a_ij + b_ij)(b_{m 1} b_{m n})

= (a₁ ¹ b₁ ¹ a₁ ⁿ b₁ ⁿ)(a_ij b_ij)(a_{m 1} b_m ¹ a_{m n} b_{m n})

(K^m×n, +) è un gruppo abeliano.

scal k ∈ K (a_ij) (k·a₁₁ ... k·a_1m)(k·a_ij) = (k·a_m11 ... k·a_mnm)

K^m×n è uno spazio vettoriale su K => spazio delle matrici di tipo m×n su K