Analisi II

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di el_ces_94

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Calcolo infinitesimale per le curve: funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità; curve regolari; lunghezza di un arco di curva e rettificabilità; integrali di linea di prima …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Cardinali Tiziana

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2014-2015

136 pagine

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Estratto del documento

Introduzione alle funzioni vettoriali

E ꜝ R^m m,p ϵ N_{^ꜝE → R^p m=1}p=1_^ꜝE è una funzione in una variabiledi valori vettoriali e serve n cinematica t → (x(t),y(t),z(t))

m=2p=1 Funzioni di due variabili a valori scalari servono per il volume delle masse rottenti o temperatura in una data latitudine e longitudine (E,L) ꜝ → T (E,L) o (T,P) ꜝ → V (T,P) = k ^I/_P

m=4p=3 Funzioni per descrivere il movimento di un fluido (t,x,y,z) ꜝ → (v₁(t,x,y,z), v₂(t,x,y,z), v₃(t,x,y,z))

m=p Funzioni per trasformazioni di coordinate w geometria

Osservazioni su R^m

Oss.R^m = R_x x R = {x = (x₁,...,x_m) | x_i ϵ R ; i = 1,...,n}

P ϵ R^m → P = (x₁,...,x_m)

(R^m , + , .) spazio lineare dotato di + e .

+ : R^m x R^m → R^m (x , y) → x+y = (u₁+t₁,...,u_m+t_m).

. : R x R^m → R^m (λ , u) → λu = (λ u₁,...,λ u_m)

Costruiamo una topologia su R^m

I.1. ||.|| : R → R^{Si ottiene norma in R^m}

||x|| ≥ 0 ^{∀ x ϵ R^m}
||x|| = 0 ⇔ x = 0^m
||tx|| = |t| ||x|| ^{∀ λ ϵ R, ||x ϵ R^m}
||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ^{∀ x,y ϵ R^m}

Il modulo verifica le proprietà quindi è considerato norma in R

I.1.1 R → R x → ||x|| = + x x>0 x → ||x|| = - x x 1

Possiamo definire diverse norme

I.1.2 ||.||₂ : R^m → R x → ||x||₂ = √Σ x²

I.1.3 ||.||_∞ : R^m → R x → ||x||_∞ = max{|x_i|}^{i ϵ {1,...,m}}

I.1.4 ||.||₁ : R^m → R x → ||x||₁ = Σ |x_i|

_{Norma euclidea} ^{Norma infinito} ^{Norma uno} _{(se m=1)}

R^m è detto spazio normato w quanto spazio ventoriale reale dotato di norma

Introduzione alle funzioni vettoriali

E ⊂ R^m m,p ∈ Nℑ ⊂ E → R^p m = 1, p > 1 ℑ è una funzione in una variabile

Modi vettoriali e serie in cineatica t → (x(t), y(t), z(t))

m = 2, p = 1 Funzioni di due variabili a valori scalari

Servono per il volume, energia progettori o temperatura in una data latitudine e longitudine

m = 4, p = 3 Funzioni per descrivere il movimento di un fluido (t, x, y, z) → (ν₁(t, x, y, z), ν₂(t, x, y, z), ν₃(t, x, y, z))

m = p Funzioni per trasformazioni di coordinate in geometria

Osservazioni

Oss.R^m = R_x × R_y = {x = (x₁, ..., x_m), x_i ∈ R; i = 1, ..., m}

P ∈ R^m → P = (x₁, ..., x_m)

(R^m, +, ·) è spazio vettore dotato di + e ·

+ : R^m × R^m → R^m (u, v) → u + v = (u₁ + v₁, ..., u_m + v_m)

· : R × R^m → R^m (λ, u) → λu = (λu₁, ..., λu_m)

Costruisco una topologia su R^m

‖.‖ : R^m → R Si ottiene norma in R^m

‖x‖ ≥ 0 ∀ x ∈ R^m
‖x‖ = 0 ⇔ x = 0^m
‖λx‖ = |λ| ‖x‖ ∀ λ ∈ R x ∈ R^m
‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ ∀ x, y ∈ R^m

Il modulo verifica le proprietà quindi è conservato norma in R

m = 1: ‖x‖ : R → R x > 0 −x

m > 1: Possono definire diverse norme

‖.‖₂ : R^m → R ‖x‖₂ = √∑_ix²_i ; x = (x₁, ..., x_m)

‖.‖ _∞: R^m → R x = ‖x‖_∞ = max|x_i| i = 1, ..., m

Norma euclidea | Norma infinito | Norma uno

R^m è detto spazio normato in quanto spazio vettoriale reale dotato di norma

Considerando la norma euclidea,

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