Analisi matematica - Insiemi

Insiemi

Un insieme è quello che si chiama un concetto primitivo, non si definisce. Definisco un insieme dai suoi elementi - elencazione.

Esempi di insiemi

Esempio 1: A = {Estate, Autunno, Inverno, Primavera}. Estate ∈ A.

Esempio 2: N = {0, 1, 2, ...}

Esempio 3: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Esempio 4: interi > 0 e A = {1, 1.0, 1.1, 2}. A = {2, 3 ∈ ℤ : 2 ≤ x ≤ 3} → proprietà di cui godono 2 e 3

In generale: A = {x ∈ R : P(x)}.

Numeri naturali dispari

D: {1, 3, 5, 7, ...} oppure D = {n ∈ N : n non è divisibile per 2}.

Diagrammi di Venn

Diagrammi di Venn rappresentano gli insiemi: A ∪ JB ⊆ A formula matematica che esprime che B è soddisfatto da A. B propriamente contenuto in A.

Sottoinsiemi

Se un insieme di un insieme c’è, dati 2 insiemi: A e B, diciamo che B è sottoinsieme di A quando propriamente, campione appartenente a B segue che B ⊆ A → b ∈ A.

Insiemistica

Un insieme è quello che si chiama un concetto primitivo, non si definisce. Definisco un insieme dai suoi elementi - elencazione.

Esempi di insiemi

A = insiemen ∈ A → appartiene.

Esempio 1: A = {Estate, Autunno, Inverno, Primavera}.

Esempio 2: N = {0, 1, 2, ...}

Esempio 3: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Interi e insiemi

Esempio 4: Interi: x > 0 e A = {1, 0, 1, 2}. A = {2 ∈ Z: -2 ≤ 2 ≤ 3}

In generale: A = {a ∈ R: P(a)}.

Numeri naturali dispari

D: {1, 3, 5, 7 ...} oppure D = {n ∈ N: n non è divisibile per 2}.

Diagrammi di Venn

Diagrammi di Venn che rappresentano gli insiemi: A ∪ JB ⊆ A Formula matematica che l'ogni me che B lo soddisfano di A.

Sottoinsiemi

Sottoinsieme di un insieme: dati i B insiemi A e B, diciamo che B è sottoinsieme di A quando l'ogni me preso b appartenente a B segue che b appartiene anche ad A. b ∈ B ⊆ B → b ∈ A. B ⊆ A → propriamente contenuto.

Operazioni tra insiemi

1. Unione

A ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B}.

Esempio: A = studenti maschi; B = studenti maschi e femmine. A ∪ B = C = (studenti maschi, studentesse con occhiali). A = 9 elementi, B = 10 elementi, C ha 7 elementi. Conclusione: insieme C contiene gli elementi di A e B.

2. Intersezione

Un'operazione in cui gli insiemi A e B definiscono un'intersezione A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}.

3. Insiemi disgiunti

Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune. A ∩ B = ∅. Nessun elemento di A appartiene a B.

Non sono disgiunti: A = {1, 2, 5, 9, 13, 22} e B = {3, 5, 7, 9, 11, 13}.

A ∪ B = A oppure A ∪ ∅ = {1, 2, 5, 9, 13, 22}. A ∩ ∅ = ∅ { }.

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 22}. A ∩ B = {5, 9, 13}. Se A e B sono disgiunti allora A ∩ B = ∅.

4. Differenza tra insiemi

Dato A e B (∈) elementi che non ne appartengono all'insieme di differenza A − B. A − B = {x | x ∈ A e x ∈/ B}. La differenza sono gli elementi di A che non appartengono a B.

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 22}. A ∩ B = {5, 9, 13}. A − B = {1, 2, 22}.

Complementare di B in A (Se A − B si somma B ritroviamo A).

Proprietà delle operazioni

1. A ⊆ B ⟺ A ∪ B = B
2. B ⊆ A ∪ B
3. A ∩ B ⊆ A
4. A ∩ B ⊆ B
5. ∀ A B A ∪ ∅ = A
6. ∀ A A ∩ ∅ = ∅
7. ∀ A A ∩ B = B ∩ A
8. A ∪ B = B ∪ A ∀ A, B
9. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
10. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
11. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
12. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
13. a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
14. A ∩ A = A
15. A ∪ A = A ∀ A
16. A ∩ Ā = ∅
17. A ∪ Ā = X Insieme universo

1. Prodotto cartesiano

A × B è l'insieme costituito dalle coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.

A = {Giovanni, Luca, Andrea} e B = {occhiali, cappello, sciarpa}.

A × B = {(Giovanni, occhiali), (Giovanni, cappello), (Giovanni, sciarpa), ...}

(a + b), (a + b) ≠ (a, a), (a: b) ≠ (b, b) A × B ≠ B × A. Non gode della proprietà commutativa

A = {1, 3, 4, 5} e B = {1, 2}

A × B = {(1, 1), (1, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}

Indice del prodotto cartesiano tra 2 insiemi: i punti del piano sono i punti dell'insieme di R² (cartesiano).

Relazioni tra insiemi

Dati 2 insiemi A e B si dice relazione tra A e B una legge che associa elementi di A o elementi di B.

1. L'insieme A è detto dominio.
2. L'insieme B è detto codominio.

Esempio: A = { Donne - Cittadinanza Italiana } e B = { Italiani }.

Per ∀a∈A e ∀b∈B avremo aRb se a è madre di b. a è in relazione con b se a è madre di b.

Se Dominio, sia un sottoinsieme di A (non coincide con A). Se Codominio non coincide con B (sottoinsieme). Codominio = Sottoinsieme, ma ci sono elementi di B che non coincidono con A. B è un sottoinsieme di B [C = Immagine di B].

Se C coincide con B la relazione si dice suriettiva.

Esempio: A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 2, 22, 4, 5, 4 }.

Pro: ∀a∈A e ∀b∈B ∃ aRb se a ∈ A e b ∈ B di sa di b. Gr = { (2, 2), (2, 22), (2, 5, 4, 1), (2, 5, 4), (3, 5, 4, 1) }.

Immagine di D, Dominio di R e ∈A, Codominio di R e ∈B, Immagine di N = { 1, 2, 2, 5, 4 }, Im(A)={b B e g: C → D. Allora risulta definita la funzione composta che si indica g o f: A → D. Associa ad ogni elemento a... Immagine della funzione composta g(f(m))=g... Il codominio f deve essere contenuto in C.

Esempi di funzioni

Esempio: f, R→R, f(m)=m²+1, g: R→R, g(m)=m-1. Troviamo g o f(m) g(f(m))... h(m)=g o f(m)=m².

Esempio 2: f: R → R, g: R → R, go(m) = g(f(m)) = g(m-3) = (m-3)² == m² - 6m + 9.

Esempio 2: f(m) = √n, g(m) = n² - 5, go(m) = g(f(m)) = g(√n) = (√n)² - 5 = n - 5.

Numeri naturali

Naturali: N = {0,1,2,3,...} e -2∉N.

N = { ... } Naturali interi codici N = { 1,2,3, ... }.

2 - 3 = -1_∉N. N sono definiti la somma e prodotto (commutative, associative) a + b = b + a = a, a · b = b · a = a_{elemento neutro = 0}. a ∈ Z ∀a 1 ∈ Z _{elemento neutro = 1}. a - a = 0 _{elemento neutro somma}. f b c ∈ Z a · 0 = 1 _{elemento neutro moltiplicazione}. 3,0,9,11/3 ∉Q _{non esiste}.

Numeri razionali

Nomi tabachesm^-n ℕ {Z} Z z k n+ dN: m > 0 e n = 1, p = 5³ = q25₃₈ = [m: o : m-n] n = p_m= 13³ Va e Qa . b = la = m= 3 . b = m-n= 33 = 1 = 5.

I numeri razionali hanno rappresentazione decimale data da una espressione finita oppure periodica. m = 5.72₂₂₂ e Q. Se dopo la virgola si ha un numero infinito non periodico allora il numero non è razionale e Q!.

(Radice quadrata) (non è definire numeri irrazionali) probel = lo seguente problema è vele e quocare un P²= V2= 1,11... (non period.) Area = P² = 2.