Analisi Matematica

Analisi I Corso di Laurea in Informatica

Insiemi

L'idea di "insieme" è una idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che essi possiedono.

Gli insiemi sono costituiti da "oggetti" anche detti "elementi".

Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.

Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto, si scriverà il simbolo "∈" fra l'oggetto e l'insieme: x ∈ X. Si legge "x appartiene ad X".               ∉ significa "non appartiene".

Gli insiemi sono descritti in vari modi. Si può elencare tutti i suoi elementi fra parentesi graffe o enunciandone le proprietà che li caratterizzano.

• Es. 1) A = {a, b, c, d, ∅}
• 2) B = {automobili immatricolate_{nel 2005}}

Analisi I Corso di Laurea in Informatica

Insiemi

L'idea di "insieme" è una idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che essi possiedono.

Gli insiemi sono costituiti da "oggetti" anche detti "elementi".

Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.

Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto, si scriverà il simbolo "∈" fra l'oggetto e l'insieme: x ∈ X.

Si legge "x appartiene ad X". ∉ significa "non appartiene".

Gli insiemi sono descritti in vari modi. Si può elencare tutti i suoi elementi fra parentesi graffe o enunciandone le proprietà che li caratterizzano.

• Es. A = {a, b, c, d, ξ}
• B = {automobili immatricolate_{nel 2005}}

Operazioni fra insiemi

Fra insiemi è possibile definire delle "operazioni" ossia delle leggi che stabiliscono un criterio per associare a due insiemi un terzo insieme.

Definizione

Siano A e B due insiemi.

• Si chiama "unione di A e B" e si denota con "A ∪ B" il seguente insieme.
  A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
• Si dice "intersezione di A e B" e si denota con "A ∩ B".
  A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
• Si dice "differenza di A e B" l'insieme indicato con "A \ B".
  A \ B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B }

Per comprendere le precedenti definizioni occorre comprendere cosa è una "proprietà" e cosa sono le "operazioni fra proprietà".

Per proprietà si intende una affermazione alla quale si possa attribuire valore di verità, cioè o è vera o falsa.

Dette P₁ e P₂ due proprietà, diciamo che la proprietà P = P₁ ∨ P₂ è vera se almeno una fra P₁ e P₂ è vera.

Dette P₁ e P₂ due proprietà, diciamo che P = P₁ ∧ P₂ è vera se sia P₁ che P₂ sono vere.

Esempio

• A = { 1, 2 } B = { a, b, c }
  A ∪ B = { 1, 2, a, b, c }
• A = { 2, 2, 3 } B = { 2, 3, 5 }
  A ∩ B = { 2, 3 }
• A \ B = { }
• B \ A = { 5 }

Definizione

Si dice "insieme vuoto" quell'insieme che non contiene alcun elemento. Esso si ottiene con ∅.

Osservazione

A insieme: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A \ ∅ = A, ∅ \ A = ∅

Definizione "diverso"

Sono A ≠ ∅ e B ≠ ∅.

Si dice "coppia non ordinata" un insieme di due elementi di cui uno appartenente ad A e l'altro a B.

Si dice "coppia ordinata" una collezione di due oggetti uno preso da A, l’altro da B, tali per cui sia possibile distinguere un primo componente ed un secondo componente.

Se a ∈ A e b ∈ B, { a, b } è una coppia non ordinata. Ovunque desideriamo una coppia ordinata usiamo (a,b).

Le parentesi tonde: (a,b).

Nella coppia ordinata (a,b), a si dice "prima coordinata" o "prima proiezione", b si dice "seconda coordinata" o "seconda proiezione".

Definizione

A ≠ ∅, B ≠ ∅.

Si dice "prodotto cartesiano di A e B" e lo si denota con "A × B" l'insieme

A × B = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Esempio

A = {a, b, c}, B = {0, ∆}.

Allora A × B = {(a,0), (a,∆), (b,0), (b,∆), (c,0), (c,∆)}.

Definizione

Sia A insieme. Si dice che "B è un sottoinsieme di A" o che "B è incluso in A" se B è un insieme tale che sia verificata la seguente implicazione.

x ∈ B ⇒ x ∈ A_{si legge "implica"}

In tal caso si scrive B ⊂ A.

Per comprendere la precedente definizione occorre spiegare cosa significa "verificare una implicazione".

Date due proprietà P₁ e P₂, la proprietà ottenuta con P₁ ⇒ P₂ si chiama "implicazione" ed è vera se, ammettendo che P₁ sia vera, allora P₂ è vera.

Esempio

A = {4, 0, Δ, □}, B = {○, Δ, ★, ξ}, C = {1, ○, □}

C ⊆ A, B ≠ A.

Definizione