Analisi matematica II - gli spazi metrici

Analisi II Clipmie

Elenco dei libri

Indice.

• Spazi metrici.
• Esempi di spazi metrici.
• Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz.
• Spazio euclideo ad n dimensioni.
• Cerchio e circonferenza.
• Insieme limitato.
• Diametro di un insieme X.
• Punti interni, esterni e di frontiera.
• Punti di accumulazione.
• Insiemi discreti e aperti.
• Chiusura di un insieme.
• Segmenti, punti isolati e poligonale.
• Successioni.
• Teorema 1: dell’unicità del limite.
• Successioni estratte.
• Successioni di Cauchy o fondamentali.
• Spazio metrico completo.
• Insieme sequenzialmente compatto.
• Distanza tra due insiemi.
• Funzioni.
• Funzioni continue ed uniformemente continue.

Spazi metrici

Sia S un insieme di natura qualunque non vuoto. Data una funzione f→d : S x S R diremo che f è una distanza o metrica per l’insieme S se gode delle seguenti proprietà ∀ ∈

1. d( x,y ) => 0 x, y S ↔ ∈
2. d( x,y ) = 0 x = y x, y S ∀ ∈
3. d( x,y ) = d( y,x ) x, y S ∀ ∈
4. d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

Esempi di spazi metrici

(R, d( x,y ) = | x – y | )

Proprietà 1: d( x,y ) => 0

È verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo.

↔

Proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y →

Dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y →

d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = y →

Dimostriamo che x = y d( x,y )= 0 →

x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

Proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x )

d( x,y ) = | x – y |

d( y,x ) = | y – x | →

x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma segno contrario.

Proprietà 4: d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

d( x,y ) = | x – y |

Aggiungiamo e sottraiamo z

d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) |

Ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori assoluti. →

d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali e continue nell’intervallo chiuso a,b. →

C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

Definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come ∀ ∈

d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così definita è quindi una funzione continua in [a,b].

∀ ∈

Proprietà 1: d( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Waistrass, una funzione continua e limitata in un intervallo chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti.

∃ max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza, d(f,g) è non negativo.

↔

Proprietà 2: d( f,g ) = 0 f=g →

- Dimostriamo d( f,g ) = 0 f=g →

d( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

Per la definizione di massimo ∀x ∈

| f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b]

∀ ∈

| f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

Per definizione, il valore assoluto è non negativo ∀x ∈

| f(x) – g(x) | = 0 [a,b]

∀x ∈

f(x) – g(x) = 0 [a,b]

∀x ∈

f(x) = g(x) [a,b] →

Dimostriamo f= g d( f,g ) = 0

∀x ∈

f(x) = g(x) [a,b]

f(x) – g (x) = 0 ∀x ∈

| f(x) – g(x)| = 0 [a,b]

d ( f,g ) = 0 ∀ ∈

Proprietà 3: d( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])

→ ∀ ∈

f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b]

Le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo.

max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

Proprietà 4: d( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

Σ √Σ(ai √Σ(bi ∀ ∈ 2 2 ai*bi <= ) * ) a1, … .. , an, b1, ………., bn R

Primo caso: tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa

Σ √Σ(0 √Σ(bi² 2 0*bi <= ) * )

0 <= 0

Che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo.

Secondo caso

∃ i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0

α, β ∈

Presi due qualunque R

α β α β² 2 2 0 <= ( - ) = + - 2αββα² 2 +2αβ <=αβ α β² 2 <= ½ + ½

Applicando questa diseguaglianza con

α β² 2 = a1 / (√Σ(ai )) = b1 / (√Σ(bi ))

Otteniamo 2 2 a1*b1 a1 b1 _____________ <= _______ + ________ √Σ(ai 2 2 2 2)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Reiterando l’operazione 2 2 a2*b2 a2 b2 _____________ <= _______ + ________ √Σ(ai 2 2 2 2)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

... 2 2 an*bn an bn _____________ <= _______ + ________ √Σ(ai 2 2 2 2)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze

Σ( Σ(ai Σ(bi² 2 ai*bi) ) ) _____________ <= ________ + ________ √Σ(ai 2 2 2 2)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Σ(ai*bi) ______________ <= ½ + ½ = 1 √Σ(ai 2 2)*√Σ(bi )

Σ(ai*bi) √Σ(ai² 2 <= )*√Σ(bi )

Spazio euclideo ad n dimensioni

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia n , d )( R √((x1-y1) √( Σ² 2 2 d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= nn .

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R ∀ ∈ n

Proprietà 1: d( x,y ) => 0 x,y R

d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini positivi. Per cui è un numero reale non negativo.

↔

Proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y →

d( x,y ) = 0 x = y

√( Σ( 2 = 0xi – yi)Σ( 2xi – yi ) = 02 = 0 1 <= i <= n( xi – yi )xi = yi 1 <= i <= nx = y →

x = y d( x,y ) = 0

xi = yi 1 <= i <= n

xi – yi = 0 1 <= i <= n

...

√(Σ( xi – yi ) = 0d( x,y ) = 0 ∀ ∈ 2

Proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x ) x,y R

√Σ( 2d( x,y ) = xi – yi ) → 2 2

Ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )

√Σ( 2d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x ) ∀ ∈ n

Proprietà 4: d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n2 2 2 2

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

Σ(xi Σ(Σ( 2 2 2= – zi) + zi – yi ) + 2*Σ(xi – zi)(zi – yi)xi – yi )

Applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

Σ(xi √Σ(xi √Σ(zi² 2 – zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)

Σ(xi Σ(xi Σ(zi √Σ(zi² 2 2 2 2 – yi) <= – zi) + – yi) + 2√Σ(xi – zi) – yi)

Il secondo membro è il quadrato di un binomio.

Σ(xi √Σ(xi² 2 2 2 – yi) <= ( – zi) +√Σ(xi – yi) )

Essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici.

√Σ(xi √Σ(xi √Σ(zi² 2 2 – yi) <= – zi) – yi)

d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

Cerchio e circonferenza

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo ⊆ ∈ ∈ S’ S x0 S’ r >0 r R ∈

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro x0, e raggio r.

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro ⊆ x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti:

• ∈ x0 I( x0,r ) perché x0∈S, ed inoltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.
• ∈ ∈ ⊆ x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

γ( ∈ L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0.

γ( ⊆ x0,r ) C( x0,r )

Insieme limitato

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice ∈ ∈ R ⊆ limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

Diametro di un insieme X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delle distanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.

↔ X è limitato il diametro di X è un numero finito.

Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato.

Presi X1 e X2 tali che ⊆ X1 S → ∩X1 è limitato X1 X2 è limitato ⊆ X2 S

Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un insieme a sua volta limitato.

Punti interni, esterni e di frontiera

Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X ⊆ S, x0 ∈ X.

• x0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X ↔ ∃ ∈ ⊆ x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X

L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. Inoltre vale la seguente ⊆ intX X.

• x0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S. ↔ ∃e ∈ ⊆ x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X

L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. Inoltre valgono le seguenti:

IntX = Est( S\X)

EstX = Int( S\X )

• x0 si dice di frontiera per X se non è né interno né esterno ad X ↔ ∀e ∈ ∃ ∈ ∩x